1、单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:60分钟满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为的函数是()A.y=sin xB.y=cos12xC.y=tan 2xD.y=|sin x|2.若f(x)=3cos(2x+)的图像关于点43,0中心对称,则|的最小值为()A.6B.4C.3D.23.(2020河南洛阳一中测试)在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(3,4),则sin-20172=()A.-45B.-35C.35D
2、.454.(2020天津和平一模,6)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是()A.函数f(x)的最小正周期是2B.函数f(x)在区间8,58上是减少的C.函数f(x)的图像关于x=16对称D.函数f(x)的图像可由函数y=2sin 2x的图像向左平移4个单位长度得到5.(2020河南高三质检,11)已知函数f(x)=3sin (x+)0,|2,当f(x1)f(x2)=3时,|x1-x2|min=,f(0)=32,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)的图像的一个对称中心为6,0C.函数f(x)的图像的一条对称轴方程
3、为x=3D.函数f(x)的图像可以由函数y=3cos x的图像向右平移12个单位长度得到6.(2021北京朝阳期中,10)已知奇函数f(x)的定义域为-2,2,且f(x)是f(x)的导函数.若对任意x-2,0,都有f(x)cos x+f(x)sin x0,则满足f()2cos f3的的取值范围是()A.-2,3B.-2,-33,2C.-3,3D.3,2二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.(2020山东烟台一模,13)已知tan =2,则cos2+2=.8.(2020河北邢台模拟,理15)设a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边.已知A=3,b=1,且(sin2A+4sin2
4、B)c=8(sin2B+sin2C-sin2A),则a=.三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12分)已知函数f(x)=cos2x+3sin(-x)cos(+x)-12.(1)求函数f(x)在区间0,上的递减区间;(2)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求ABC的面积.10.(12分)(2020福建福州模拟,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设3bsin A=a(2+cos B).(1)求B;(2)若ABC的面积等于3,求ABC的周长的最小值.11.(1
5、2分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,MCN=23,在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2,求c的值;(2)若c=3,ABC=,试用表示ABC的周长,并求周长的最大值.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.DA选项的最小正周期为T=21=2;B选项的最小正周期为T=212=4;C选项的最小正周期为T=2;D选项,由其图像可知最小正周期为.故选D.2.A由于函数f(x)=3cos(2x+)的图像关于点43,0中心对称,所以f43=0,即243+=k+2,=k-136(kZ).
6、所以|min=6.3.B由三角函数的定义可知tan=43,由题可知为第一象限角,cos=35,sin-20172=sin-2=-cos=-35.4.B函数f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin2x+4,T=22=,故A不正确;由2+2k2x+432+2k,kZ,解得8+kx58+k,kZ,令k=0,则8x58,故函数f(x)在区间8,58上递减,故B正确;x=16时,y=2sin216+42,故C不正确;由函数y=2sin2x的图像向左平移4个单位长度得到函数f(x)=2sin2x+2,所以D不正确.故选B.5.D因为f(x)=3sin(x+),所以f(x)m
7、ax=3,又f(x1)f(x2)=3,所以f(x1)=f(x2)=3或f(x1)=f(x2)=-3,因为|x1-x2|min=,所以f(x)的最小正周期为,所以=2,故A错误;又f(0)=32,所以sin=32,又|2,所以=3,所以f(x)=3sin2x+3,令2x+3=k(kZ),得x=-6+k2(kZ),所以函数f(x)图像的对称中心为-6+k2,0(kZ),所以B错误;由2x+3=2+k(kZ),解得x=12+k2(kZ),故C错误;y=3cos2x=3sin2x+2,向右平移12个来单位长度得y=3sin2x-12+2=3sin2x+3=f(x),故D正确,故选D.6.D构造函数g(
8、x)=f(x)cosx,则g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x,因对任意x-2,0,都有f(x)cosx+f(x)sinx0,所以g(x)0,即函数g(x)在-2,0上单调递减.由f()2cosf3,得f()cos3,又f(x)的定义域为-2,2,则3,2.7.-45cos2+2=-sin2=-2sincos=-2sincossin2+cos2=-2tantan2+1=-44+1=-45.8.2因为(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C-sin2A),所以(a2+4b2)c=8(b2+c2-a2).又因为b=1,所以(a2+4b2)bc=8(b2+c2-a
9、2),a2+4b22=8b2+c2-a22bc=8cosA=4,即a2+4b22=4,解得a=2.9.解(1)f(x)=cos2x-3sinxcosx-12=1+cos2x2-32sin2x-12=-sin2x-6,令2k-22x-62k+2,kZ,得k-6xk+3,kZ,x0,函数f(x)在0,上的递减区间为0,3和56,.(2)由(1)知f(x)=-sin2x-6,f(A)=-sin2A-6=-1,ABC为锐角三角形,0A2,-62A-60,所以3sinB-cosB=2,所以2sinB-6=2.因为B(0,),所以B-6=2,即B=23.(2)依题意3ac4=3,即ac=4.所以a+c2a
10、c=4,当且仅当a=c=2时取等号.又由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac3ac=12,所以b23,当且仅当a=c=2时取等号.所以ABC的周长的最小值为4+23.11.解(1)a,b,c依次成等差数列,且公差为2,a=c-4,b=c-2,又MCN=23,即cosC=-12,由余弦定理可得a2+b2-c22ab=-12,将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.又c4,c=7.(2)在ABC中,由正弦定理可得ACsinABC=BCsinBAC=ABsinACB,ACsin=BCsin3-=3sin23,即AC=2sin,BC=2sin3-.ABC的周长f()=|AC|+|BC|+|AB|=2sin+2sin3-+3=212sin+32cos+3=2sin+3+3.又0,3,3+323,当+3=2,即=6时,f()取得最大值2+3.
