1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型 上一页返回首页下一页1.理解最值概念，并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2.能利用不等式解决有关的实际问题.上一页返回首页下一页基础初探教材整理 最值问题，优化的数学模型1.最值设 D 为 f(x)的定义域，如果存在 x0D，使得 f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，xD，则称 f(x0)为 f(x)在 D 上的最大(小)值，x0 称为 f(x)在 D 上的.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为，它属于更一般的问题的一个特别的情况.最大(小)值点最值问题极值问题上一页返回首页
2、下一页2.分离常数法分离常数法就是，.这在求含有分式的最值问题时经常用到.这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x 的二次方程，然后利用判别式求最值.用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意的条件.在分子中凑出与分母相同的项然后约分等号成立上一页返回首页下一页1.已知0 x1，则x(1x)取最大值时x的值为()A.13 B.12 C.14 D.23【解析】0 x1，x(1x)x1x2214，当且仅当x12时取等号.【答案】B上一页返回首页下一页2.已知t0，则函数yt24t1t的最小值为_.【解析】t0，yt24t1t t1t4242.【答案】2上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后
3、，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页小组合作型利用柯西不等式求最值 设x0，y0，z0，a，b，c，l，m，n是给定的正数，并且axbycz为常数，求lxmynz的最小值.【导学号：38000045】【精彩点拨】题设中的与的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值.上一页返回首页下一页【自主解答】由柯西不等式得lx2my2nz2(ax)2(by)2(cz)2(al bm cn)2，所以 al bm cn2.由柯西不等式成立的条件得xkla，ykmb，zknc.其中，kal bm cn.它们
4、使得axbycz，且 al bm cn2，所以的最小值为 al bm cn2.上一页返回首页下一页利用柯西不等式求最值时，必须验证等号成立的条件是否满足.上一页返回首页下一页再练一题2.设x，y，zR，且 x1216 y225 z3241.求xyz的最大值和最小值.上一页返回首页下一页【解】根据柯西不等式，知42(5)222 x142y252z3224x14 5y25 2z322，当且仅当x116 y25z34，即x215，y1，z195 或x115，y3，z115 时等号成立.251(xyz2)2.|xyz2|5，3xyz7，即xyz的最大值为7，最小值为3.上一页返回首页下一页利用二次函数
5、求最值 某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为P1160(x40)210万元，为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修建一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q159160(60 x)21192(60 x)万元.问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？上一页返回首页下一页【精彩点拨】分别求出开发前、后该项目10年利润的
6、最大值，比较大小即可.上一页返回首页下一页【自主解答】若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中拿出40万元投资，可获最大利润10万元.这样10年总利润最大值为W1010100(万元).若对该产品开发，则前5年中，当x30时，Pmax758，前5年总利润为W1758 53758(万元)；设后5年中，x万元用于本地销售投资，60 x万元用于异地销售投资，则总利润 上一页返回首页下一页W2 1160 x40210 5159160 x21192 x 55(x30)24 500，当x30时，(W2)max4 500.10年总利润最大值为3758 4 500(万元).因3758 4 50010
7、0，故该项目具有极大的开发价值.上一页返回首页下一页1.本题实际上是两个二次函数的叠加问题，叠加后的二次函数最值要比叠加前的二次函数最值大，从而得解.本题的现实意义也很大.2.解不等式应用题的步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；(4)还原实际问题.上一页返回首页下一页再练一题2.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y
8、(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.上一页返回首页下一页【解】(1)降低税率后的税率为(10 x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元.依题意：y200a(12x%)(10 x)%150a(1002x)(10 x)(0 x10).上一页返回首页下一页(2)原计划税收为200a10%20a(万元).依题意得：150a(1002x)(10 x)20a83.2%，化简得，x240 x840，42x2.又0 x10，0 x2，x的取值范围是0 x2.上一页返回首页下一页探究共研型利用不等式解
9、决实际问题探究 利用不等式解决实际问题的步骤是什么？【提示】利用不等式解决实际应用问题，一般可分四个步骤：(1)阅读理解材料，弄清问题背景.(2)建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题.(3)运用不等式的知识、手段讨论不等式关系.(4)做出结论.然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函数等方法来求最值.上一页返回首页下一页 如图2-4-1所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？图2-4-1上一页返回首页下一页【精彩点拨】设切去的小正方形的边长为x，由题意可知，折成的盒子的底面
10、边长为a2x，高为x，这时盒子的容积为V(a2x)2x，再利用三个正数的算术几何平均值不等式，变形为xyzxyz33求解即可.上一页返回首页下一页【自主解答】设切去的小正方形的边长为x x0).上一页返回首页下一页(2)由V13ha2h3h21(h0)，易得V13h1h.h1h2h1h2，V16.等号当且仅当h1h，即h1时取得.故当h1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米.上一页返回首页下一页构建体系最值问题 最大值、最小值 分离常数法 应用上一页返回首页下一页1.已知x1，y1，且lg xlg y4，那么lg xlg y的最大值是()A.2 B.12C.14D.4【解析】4lg xlg
11、 y2 lg xlg y，lg xlg y4.【答案】D上一页返回首页下一页2.已知a，b为正数，且ab1，则(4a1 4b1)2的最大值是()【导学号：38000046】A.2 6B.6C.6D.12上一页返回首页下一页【解析】(4a1 4b1)2(1 4a11 4b1)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当 4b1 4a1，即ab12时等号成立.【答案】D上一页返回首页下一页3.数列an的通项公式annn290，则数列an中的最大项是()A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项上一页返回首页下一页【解析】annn2901n90n12n90
12、n16 10，当且仅当n90n，即n3 10时等号成立.又n为正整数，检验可知选D.【答案】D上一页返回首页下一页4.函数y5 x1 102x的最大值为_.上一页返回首页下一页【解析】因为函数的定义域为1,5，且y0，则 y5 x1 25x 52 22 x12 5x2 2746 3.当且仅当 2x155x时，等号成立，即x12727 时，函数取最大值6 3.【答案】6 3上一页返回首页下一页5.(1)求函数y x25x24的最小值；(2)求函数ycos2x(1sin x)的最大值；(3)设x1，求函数ylog2xlogx4的最小值.上一页返回首页下一页【解】(1)设l x24，则l2，于是 y
13、x241x24 l1l.y11l2l21l2，当l2，)时，y0，即在2，)上函数单调递增，当l2，即x0时，y取得最小值，最小值为y21252.上一页返回首页下一页(2)y(1sin2x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)4(1sin x)1sin x21sin x2 41sin x1sin x21sin x2334 8273227.等号成立1sin x1sin x2sin x13，方程sin x13有解，于是函数ycos2x(1sin x)有最大值3227.上一页返回首页下一页(3)当x1时，log2x0，logx40，于是 ylog2xlogx4log2x 2log2x2 2.等号成立log2x2log2xlog2x 2(log2x 2舍去)x22，于是ymin2 2.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评 点击图标进入
