1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评2.2 排序不等式 上一页返回首页下一页1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题.上一页返回首页下一页基础初探教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念设 a1a2an，b1b2bn 为两组实数，c1，c2，cn 为 b1，b2，bn 的任一排列，称 a1b1a2b2anbn 为这两个实数组的；称 a1bna2bn1anb1 为这两个实数组的；称 a1c1a2c2ancn 为这两个实数组的.顺序和反序和乱序和上一页返回首页下一页教材整理2 定理(排序原理，又称为排序不等式)设a1
2、a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，则有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等号成立(反序和等于顺序和)a1a2an或b1b2bn，可简记作：反序和乱序和顺序和.上一页返回首页下一页已知xy，Mx4y4，Nx3yy3x，则M与N的大小关系是()A.MN B.MNC.M0，于是1a1b，又c0，1c0，从而 1bc 1ca.同理，bc0，于是1b1c，a0，1a0，于是得 1ca 1ab，从而 1bc 1ca 1ab.上一页返回首页下一页(2)由(1)知 1bc 1ca 1ab0且abc0，1b2c2 1c2a2
3、 1a2b2，a2b2c2.由排序不等式，顺序和乱序和得 a2b2c2 b2c2a2 c2a2b2 b2b2c2 c2c2a2 a2a2b21c2 1a2 1b2 1a2 1b21c2，故 a2b2c2 b2c2a2 c2a2b2 1a2 1b21c2.上一页返回首页下一页利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.上一页返回首页下一页再练一题1.已知0a1a2an，求证：a21a2a22a3a2n1an a2na1a1a2an.【导学号：38000035】上一页返回首页下一页【证明】0a1a2an，a21a22
4、a2n，1a1 1a2 1an，由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得 a21a2a22a3a2n1an a2na1a21 1a1a22 1a2a2n 1an.因此a21a2a22a3a2n1an a2na1a1a2an.上一页返回首页下一页字母大小顺序不定的不等式证明 设a，b，c为正数，求证：a2b22cb2c22a c2a22b a3bcb3cac3ab.【精彩点拨】(1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序.解答本题时不妨先设定abc，再利用排序不等式加以证明.上一页返回首页下一页【自主解答】不妨设0abc，则a3b3c3，00，则a2b2c2，1c1
5、b1a，则a21cb21ac21b(乱序和)a21ab21bc21c(反序和)，同理，b21cc21aa21b(乱序和)a21ab21bc21c(反序和).两式相加再除以2，可得abca2b22cb2c22a c2a22b.上一页返回首页下一页利用排序不等式求最值 设a，b，c为任意正数，求 abc bca cab的最小值.【精彩点拨】由对称性，不妨设abc0，注意到bbc cbc 1，设法构造数组，利用排序不等式求解.上一页返回首页下一页【自主解答】不妨设abc，则abacbc，1bc1ca 1ab，由排序不等式得，abc bca cab bbc cca aab，abc bca cab cb
6、c aca bab，上两式相加，则2abc bca cab 3，上一页返回首页下一页即 abc bca cab32.当且仅当abc时，abc bca cab取最小值32.上一页返回首页下一页1.分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组.2.运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值.上一页返回首页下一页再练一题3.已知x，y，z是正数，且xyz1，求tx2y y2z z2x的最小值.【导学号：38000036】上一页返回首页下一页【解】不妨设xyz0，则x2y2z2，1z1y1x.由排序不等式，乱序和反序和.x2y y2z z2xx21xy21yz21zxyz.又x
7、yz1，x2y y2z z2x1，当且仅当xyz13时，等号成立.故tx2y y2z z2x的最小值为1.上一页返回首页下一页探究共研型排序不等式的特点探究1 排序不等式的本质含义是什么？【提示】排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大；反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列.上一页返回首页下一页探究2 排序原理的思想是什么？【提示】在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系
8、来解题.因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.上一页返回首页下一页 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元.在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】这是一个实际问题，需要转化为数学问题.要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总时间为3t12t2t3 min，求
9、其最小值即可.上一页返回首页下一页【自主解答】设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t12t2t332523045180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小.上一页返回首页下一页1.首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型.2.三台电脑的维修时间3t12t2t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理).上一页返回首页下一页再练一题4.有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？上一页返回首
10、页下一页【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4554638210184(分钟).即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少.上一页返回首页下一页1.设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列为a1，a2，a3，则a1a1 a2a2 a3a3的最小值为()A.3 B.6C.9D.12上一页返回首页下一页【解析】由题意，不妨设a1a2a30，则 1a3 1a2 1a10，a1a1 a2a2 a3a3a1a1a2a2a3a33，当且仅当a1a2a3时等号成立.【答案】A上一页返回首页下一页2.设a，b，c为正数，Pa3b3c3，Qa2bb
11、2cc2a，则P与Q的大小关系是()A.PQB.PQC.P0，则a2b2c20.由排序不等式得a2ab2bc2ca2bb2cc2a.PQ.【答案】B上一页返回首页下一页3.锐角三角形中，设Pabc2，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的关系为()A.PQB.PQC.PQD.不能确定上一页返回首页下一页【解析】不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有 Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin
12、Csin Asin B)abc2P.【答案】C上一页返回首页下一页4.若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c12c23c3的最大值是_，最小值是_.【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小.最大值为14253632，最小值为16253428.【答案】32 28上一页返回首页下一页5.已知a，b，c为正数，abc，求证：a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3c2a3a2b3b2c3.【导学号：38000037】【证明】abc0，a5b5c5，1c1b1a0，1bc 1ac 1ba，1b3c3 1a3c3 1b3a3，上一页返回首页下一页由顺序和乱序和得 a5b3c3 b5a3c3 c5b3a3 b5b3c3 c5a3c3 a5b3a3 b2c3c2a3a2b3，a5b3c3 b5a3c3 c5b3a3 c2a3a2b3b2c3.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评 点击图标进入
