1、考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.第 3 节 基本不等式：abab2知 识 梳 理 1.基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.(3)其中称为正数 a，b 的算术平均数，称为正数 a，b 的几何平均数.abab2ab2.几个重要的不等式(1)a2b2(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(3)a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(4)baab(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号.2ab23.利用
2、基本不等式求最值 已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：和定积最大).xy小2 pxy大s24常用结论与易错提醒1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：abab22a2b22，abab2 a2b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式的一般形式：1n(
3、a1a2a3an)n a1a2an(其中 a1，a2，a3，an(0，)，当且仅当 a1a2a3an 时等号成立).诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)当 a0，b0 时，ab2 ab.()(2)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的.()(3)函数 yx1x的最小值是 2.()(4)函数 f(x)sin x 4sin x的最小值为 4.()(5)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件.()解析(2)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式ab2 ab成立的条件是 a0，b0.(3)函数 yx1x值域是(，22，)，没有最小值.(4)函数 f(x)sin
4、 x 4sin x无最小值.(5)x0 且 y0 是xyyx2 的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A.80B.77 C.81D.82 解析 xyxy2281，当且仅当 xy9 时取等号.答案 C 3.若直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，则 ab 的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.5解析 因为直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a1b1.所以 ab(ab)1a1b 2abba22abba4，当且仅当 ab2 时取“”，故选 C.答案 C 4.若函数 f(x)x 1x2(x2)在 xa 处取最小值
5、，则 a()A.1 2B.1 3C.3 D.4解析 当 x2 时，x20，f(x)(x2)1x222（x2）1x224，当且仅当 x2 1x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a3，选 C.答案 C 5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x2y30，所以 Sxy12x(2y)12x2y222252，当且仅当 x2y，即 x15，y152 时取等号.答案 15 1526.已知正数 x，y 满足 xy1，则 xy 的取值范围
6、为_，1xxy的最小值为_.解析 正数x，y满足xy1，y1x，0 x1，y1x，xy2x1，又0 x1，02x2，12x10 且 x0，解得 0 x1)的最小值为_.(2)当 x0 时，x ax1(a0)的最小值为 3，则实数 a 的值为_.解析(1)yx22x1（x22x1）（2x2）3x1（x1）22（x1）3x1(x1)3x122 32.当且仅当 x1 3x1，即 x 31 时，等号成立.(2)因为当 x0，a0 时，x ax1x1 ax112 a1，当且仅当 x1 ax1时，等号成立，又 x ax1(a0)的最小值为 3，所以 2 a13，解得 a4.答案(1)2 32(2)4考点二
7、 常数代换或消元法求最值【例 2】(1)(2020浙江“超级全能生”联考)已知正数 x，y 满足 xy1，则 11x112y的最小值是()A.3328B.76C.32 25D.65(2)(一题多解)已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_.易错警示解析(1)xy1，2x22y15，11x112y15(2x22y1)222x112y 15324y22x22x12y 32 25，当且仅当 2x24y24x4y10 时等号成立，故选 C.(2)由已知得 x93y1y.法一(消元法)因为 x0，y0，所以 0y3，所以 x3y93y1y 3y 121y3(y1)62121y3（y1）6
8、6，当且仅当 121y3(y1)，即 y1，x3 时，(x3y)min6.法二 x0，y0，9(x3y)xy13x(3y)13x3y22，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案(1)C(2)6 规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值
9、，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】(1)(一题多解)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_.(2)已知正数 x，y 满足 2xy2，则当 x_时，1xy 取得最小值为_.解析(1)法一 由 x3y5xy 可得 15y 35x1，3x4y(3x4y)15y 35x95453x5y12y5x 135 125 5(当且仅当3x5y12y5x，即 x1，y12时，等号成立)，3x4y 的最小值是 5.法二 由 x3y5xy，得 x 3y5y1，x0，y0，y15，3x4y9y5y14y13y15 95454y5
10、y154y135 9515y154y15 135 236255，当且仅当 x1，y12时等号成立，(3x4y)min5.(2)x，y 为正数，则 2xy2y22x00 x1，所以1x(22x)1x2x22 22，当且仅当1x2x，即 x 22 时等号成立.答案(1)5(2)22 2 22考点三 一般形式的基本不等式的应用(选用)【例3】(一题多解)(2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_.解析 法一 因为f(x)2sin xsin 2x，所以f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x2 4cos x12(cos x1)，由 f(x)0
11、得12cos x1，即 2k3x2k3，kZ，由 f(x)0 得1cos x12，即 2k3x2k 或 2kx2k3，kZ，所以当 x2k3(kZ)时，f(x)取得最小值，且 f(x)minf2k32sin2k3 sin 22k3 3 32.法二 因为 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)4sinx2cosx22cos2x28sinx2cos3x2 833sin2x2cos6x2，所以f(x)2643 3sin2x2cos6x2643 3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x244274，当且仅当 3sin2x2cos2x2，即 sin2x214时取等号，所以
12、0f(x)2274，所以3 32 f(x)3 32，所以 f(x)的最小值为3 32.法三 因为f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，所以f(x)24sin2x(1cos x)2 4(1cos x)(1cos x)3，设cos xt，则y4(1t)(1t)3(1t1)，所以y4(1t)33(1t)(1t)2 4(1t)2(24t)，所以当1t0；当12t1 时，y0，而(sin2 cos)2412sin2 12sin2 cos2412sin212sin2cos233 427，当且仅当12sin2cos2，即 cos 33，0，2 时等号成立.sin2 cos 的最大值为2 39.(2)证明 因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333（ab）3（bc）3（ca）33(ab)(bc)(ca)3(2 ab)(2 bc)(2 ca)24.当且仅当abc1时，等号成立，所以(ab)3(bc)3(ca)324.
