1、第三章 函数（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1如图，OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且ABx轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A(5,4)B(3,4)C(5,3)D(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明ACOBCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解【详解】解：ABx轴，ACO=BCO=90，OA=OB，OC=OC，ACOBCO(HL)，AC=BC=12AB=3，OA=5，OC=52-32=4，点A的坐标是（4，3），故选：D【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的
2、关键是灵活运用所学知识解决问题【新考法】 从图象中获取信息2甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示根据图中信息，下列说法错误的是（）A前10分钟，甲比乙的速度慢B经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C甲的平均速度为0.08千米/分钟D经过30分钟，甲比乙走过的路程少【答案】D【分析】结合函数关系图逐项判断即可【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意；B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意；C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平
3、均速度为：3.240=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意；D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意；故选：D【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键3在函数yx+3x中，自变量x的取值范围是（）Ax3Bx3Cx3且x0Dx3且x0【答案】D【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案【详解】解：由题意得：x+30且x0，解得：x3且x0，故选：D【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0
4、是解题的关键4如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E-O-F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）ABCD【答案】D【分析】分0t1和1t2两种情形，确定解析式，判断即可【详解】当0t1时，正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，直线EO垂直BC，点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，S=12(2-t)t=-12t2+t；当1t
5、2时，正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，直线OFBC，点P到直线BC的距离为1，BQ=t，S=12t；故选D【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键5【创新题】直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是（）.A0个B1个C2个D1个或2个【答案】D【分析】根据直线y=x+a不经过第二象限，得到a0，再分两种情况判断方程的解的情况.【详解】直线y=x+a不经过第二象限，a0，方程ax2+2x+1=0，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a0，方
6、程有两个不相等的实数根，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.6在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(am0的图像上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中OAB=90，AO=AB，则线段OB长的最小值是（）A1B2C22D4【答案】C【分析】如图，过A作AMx轴，交y轴于M，过B作BDx轴，垂足为D，交MA于H，则OMA=AHB=90, 证明AOMBAH, 可得OM=AH,AM=BH, 设Am,2m, 则AM=m,OM=2m,MH=m+2m,BD=2m-m, 可得 Bm+2
7、m,2m-m, 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案【详解】解：如图，过A作AMx轴，交y轴于M，过B作BDx轴，垂足为D，交MA于H，则OMA=AHB=90, MOA+MAO=90, AO=AB,AOAB, MAO+BAH=90, MOA=BAH, AOMBAH, OM=AH,AM=BH, 设Am,2m, 则AM=m,OM=2m,MH=m+2m,BD=2m-m, Bm+2m,2m-m, OB=m+2m2+2m-m2=2m2+8m2, m0, 而当a0,b0时，则a+b2ab, 2m2+8m222m28m2=8, 2m2+8m2的最小值是8，OB的最小值是8=22. 故
8、选：C【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“a2+b22ab的变形公式”是解本题的关键9二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】A【分析】先分析二次函数y=ax2+bx+1的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数y=2ax+b的图像恒过定点(-b2a,0)，即可得出正确选项【详解】二次函数y=ax2+bx+1的对称轴为x=-b2a，一次函数y=2ax+b的图像恒过定点(-b2a,0)，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(-
9、b2a,0)，只有A选项符合题意故选A【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数y=2ax+b的图像恒过定点(-b2a,0)，本题蕴含了数形结合的思想方法等10已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，0ac）经过点(1,0)，有下列结论：2a+b1时，y随x的增大而增大；关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根其中，正确结论的个数是（）A0B1C2D3【答案】C【详解】由题意可知：a+b+c=0，b=-(a+c)，b+c=-a，0a2a，即b=-(a+c)-2a，得出b+2a0，故正确；b+2a1， a0，1xx0
10、时，y随x的增大而增大，故不正确；b2-4a(b+c)=b2-4a(-a)=b2+4a20，关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根，故正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11如图，点A的坐标为1,3，点B在x轴上，把OAB沿x轴向右平移到ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 【答案】(4，3)【分析】过点A作AHx轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到BDA
11、H=9，求出BD即可得到答案.【详解】过点A作AHx轴于点H，A（1,3），AH=3，由平移得ABCD，AB=CD，四边形ABDC是平行四边形，AC=BD，BDAH=9，BD=3，AC=3，C(4，3)，故答案为：(4，3).【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.12某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10x20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）【答案】121【分析】利用待定系数法求一次函
12、数解析式，然后根据“利润=单价商品利润销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值【详解】解：当10x20时，设y=kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：10k+b=2020k+b=10，解得k=-1b=30，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y=-x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w=x-8y=x-8-x+30=-x2+38x-240=-x-192+121，-13【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-30，据此即可求解【详解】解：y=x2+4
13、x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，m-30，解得：m3，故答案为：m3【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标14若点A(1,y1),B(-2,y2),C(-3,y3)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为 【答案】y2y3 y1【分析】将点A（1，y1），B（-2，y2），C（-3，y3）分别代入反比例函数y=6
14、x，并求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小【详解】根据题意，得当x=1时，y1=61=6，当x=-2时，y2=6-2=-3，当x=-3时，y3=6-3=-2；-3-26，y2y3 y1；故答案是y2y3 y1【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，此题比较简单，解答此题的关键是熟知反比例函数的性质及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属较简单题目15已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组3x-y=1kx-y=0的解是 【答案】x=1y=2【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解【详解】解
15、：一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k0）的图象的交点坐标是（1，2），联立y=3x-1与y=kx的方程组y=3x-1y=kx的解为：x=1y=2，即3x-y=1kx-y=0的解为：x=1y=2，故答案为：x=1y=2【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键【新考法】 二次函数与几何综合16在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形例如：如图，函数y=(x-2)20x3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC若二次函数y
16、=14x2+bx+c0x3图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= 【答案】712或-2512【分析】根据题意求得点A3,0，B3,4，C0,4，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解【详解】由y=(x-2)20x3，当x=0时，y=4，C0,4，A3,0，四边形ABCO是矩形，B3,4，当抛物线经过O，B时，将点0,0，B3,4代入y=14x2+bx+c0x3，c=0149+3b+c=4解得：b=712当抛物线经过点A,C时，将点A3,0,C0,4代入y=14x2+bx+c0x3，c=4149+3b+c=0解得：b=-2512综上所述，b=712或b=-2512，故答案为：712或
17、-2512【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键三解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示(1)求储存室的容积V的值；(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16d25，求储存室的底面积S的取值范围【答案】(1)V=10000米3(2)当16d25时，400S625【分析】（
18、1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；（2）先求解反比例函数的解析式为S=10000d，再利用反比例函数的性质可得答案【详解】（1）解：由图知：当深度d=20米时，底面积S=500米2，V=Sd=500米220米=10000米3；（2）由（1）得：Sd=10000，则S=10000d（d0），S随着d的增大而减小，当d=16时，S=625； 当d=25时，S=400；当16d25时，400S625【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键18如图，一次函数y=kx+2(k0)的图像与反比例函数y=mx(m0,x0)的图
19、像交于点A(2,n)，与y轴交于点B，与x轴交于点C(-4,0)(1)求k与m的值；(2)P(a,0)为x轴上的一动点，当APB的面积为72时，求a的值【答案】(1)k的值为12，m的值为6(2)a=3或a=-11【分析】（1）把C(-4,0)代入y=kx+2，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解B(0,2)由P(a,0)为x轴上的一动点，可得PC=|a+4|由SCAP=SABP+SCBP，建立方程求解即可【详解】（1）解：把C(-4,0)代入y=kx+2，得k=12y=12x+2把A(2,n)代入y=12x+2，得n=3A(2,3)把A(2,3)代入y
20、=mx，得m=6k的值为12，m的值为6（2）当x=0时，y=2B(0,2)P(a,0)为x轴上的一动点，PC=|a+4|SCBP=12PCOB=12|a+4|2=|a+4|，SCAP=12PCyA=12|a+4|3=32|a+4|SCAP=SABP+SCBP，32|a+4|=72+|a+4|a=3或a=-11【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键19已知一次函数y=kx+bk0的图象与反比例函数y=4x的图象相交于点A1,m，Bn,-2(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据
21、函数图象，直接写出不等式kx+b4x的解集；(3)若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求ABC的面积【答案】(1)y=2x+2，图见解析(2)-2x1(3)12【分析】（1）把A1,m，Bn,-2分别代入y=4x得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；（2）由函数图象可知，当 -2x1时，一次函数y=kx+bk0的图象在反比例函数y=4x的图象的上方，即可得到答案；（3）根据点C是点B关于y轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可【详解】（1）解：把A1,m，Bn,-2分别代入y=4x得，m=41，-2=4
22、n，解得m4，n2， 点A（1，4），点B（2，2），把点A（1，4），点B（2，2）代入一次函数y=kx+bk0得，k+b=4-2k+b=-2，解得k=2b=2，一次函数的表达式是y2x2，这个一次函数的图象如图，（2）解：由函数图象可知，当 -2x1时，一次函数y=kx+bk0的图象在反比例函数y=4x的图象的上方，不等式kx+b4x的解集为-2x1；（3）解：点C是点B关于y轴的对称点，点B的坐标是（2，2），点C的坐标是（2，2），BC2（2）4，SABC=1246=12【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的
23、面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键20丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）354045每天销售数量y（件）908070(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y2x+160(2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时
24、，每天获利最大，最大利润1248元【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为ykx+b，用待定系数法可得y2x+160；（2）根据题意得（x30）（2x+160）1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w（x30）（2x+160）2x2+220x48002（x55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为ykx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k
25、+b=80，解得k=-2b=160，y2x+160；（2）根据题意得：（x30）（2x+160）1200，解得x150，x260，规定销售单价不低于成本且不高于54元，x50，答：销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w（x30）（2x+160）2x2+220x48002（x55）2+1250，20，对称轴是直线x55，而x54，x54时，w取最大值，最大值是2（5455）2+12501248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程21如图，隧道的截面由抛
26、物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米(1)求出抛物线的解析式(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论【答案】(1)y=-14x2+1(2)23米(3)能通过，见解析【分析】(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式；(2)把y=134-3=14代入解析式，即可求得；(3)根据
27、题意可以求得当x=1.2时的y的值然后与3.6比较，即可解答本题【详解】（1）解：最高点E到地面距离为4米，EF=4米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的解析式为y=ax2+ca0，四边形ABCD是矩形，B=BCO=90，又COF=90，四边形BCOF是矩形，OF=BC=3米，OE=EF-OF=4-3=1(米)，点E的纵坐标为1，c=1，y=ax2+1，又AB=CD=4米，点C的坐标为(2,0)，把点C的坐标代入解析式，得4a+1=0，解得a=-14，故抛物线的解析式为y=-14x2+1；（2）解：把y=134-3=14代入解析式，得-14x2+1=14，解得x1=3，x2=
28、-3，故在距离地面134米高处，隧道的宽度是3-3=23(米)；（3）解：这辆货运卡车能通过该隧道；当x=1.2时，y=-141.22+1=0.64，3+0.64=3.643.6，这辆货运卡车能通过该隧道【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题，找出所求问题需要的条件22【创新题】已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）(1)求b，c的值(2)当4x0时，求y的最大值(3)当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值【答案】(1)b-6，c=-3(2)x3时，y有最大值为6(3)m2或-3-10【分析】（1
29、）把（0，-3），（-6，-3）代入y-x2+bx+c，即可求解；（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4x0，可得当x-3时，y有最大值，即可求解；（3）由（2）得当x-3时，y随x的增大而减小；当x-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3m0时，当m-3时，即可求解【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y-x2+bx+c，得c=-3-36-6b+c=-3，解得：b=-6c=-3；（2）解：由（1）得：该函数解析式为y-x2-6x-3-(x+3)2+6，抛物线的顶点坐标为（-3，6），-10抛物线开口向下，又-4x0，当x-3时，y有最大值为6（3）解：由
30、（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，当x-3时，y随x的增大而减小；当x-3时，y随x的增大而增大，当-3m0时，当x0时，y有最小值为-3，当xm时，y有最大值为-m2-6m-3，-m2-6m-3+（-3）2，m-2或m-4（舍去）当m-3时，当x-3时，y有最大值为6，y的最大值与最小值之和为2，y最小值为-4，-(m+3)2+6=-4，m-3-10或m-3+10（舍去）综上所述，m-2或-3-10【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键23如图，点A(a,2)在反比例函数y=4x的图象上，AB/x轴，且交y轴于点C，
31、交反比例函数y=kx于点B，已知AC=2BC（1）求直线OA的解析式；（2）求反比例函数y=kx的解析式；（3）点D为反比例函数y=kx上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求OAD的面积【答案】（1）y=x；（2）y=-2x；（3）3.【分析】（1）先求解A的坐标，再把A的坐标代入正比例函数y=mx，解方程即可得到答案；（2）利用AC=2BC, 先求解B的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；（3）设D(n,-2n), 而A(2,2),E为AD的中点，利用中点坐标公式求解D,E的坐标，再利用SOAD=SODE+SOAE=12OE(|xA|+|xD|)，计算即可得到答案.【详解】解
32、：（1） 点A(a,2)在反比例函数y=4x的图象上，2a=4,a=2, 则A(2,2), AC=2, 设直线AO为：y=mx, 2m=2, 则m=1, 所以直线AO为：y=x, （2） AB/x轴， AC=2BC=2BC=1, B(-1,2), k=xy=-12=-2, 所以反比例函数为：y=-2x. （3）设D(n,-2n), 而A(2,2),E为AD的中点，xE=12(2+n)=0, n=-2, D(-2,1),E(0,32), SOAD=SODE+SOAE=12OE(|xA|+|xD|) =1232(2+2)=3.【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与
33、坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.24已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点-1,0，且对任意实数x，都有4x-12ax2+bx+c2x2-8x+6（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）存在，1,0或5,0或7-2,0或-2-7,0【分析】（1）令4x-12=2x2-8x+6，解得x1=x2=3，可得函数y=ax2+bx
34、+c 必过 (3,0)，再结合y=ax2+bx+c 必过 (-1,0)得出b=-2a，c=-3a，即可得到y=ax2-2ax-3a，再根据4x-12ax2-2ax-3a，可看成二次函数y=ax2-2ax-3a与一次函数y=4x-12仅有一个交点，且整体位于y=4x-12的上方，可得a0，4x-12=ax2-2ax-3a有两个相等的实数根，再根据=0，可解得a的值，即可求出二次函数解析式（2）结合（1）求出点C的坐标，设Mm,m2-2m-3,N(n,0)，当AC为对角线时，当AM为对角线时，当AN为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案【详解】解：（1）令4x-12=2x
35、2-8x+6，解得x1=x2=3，当x=3时，4x-12=2x2-8x+6=0，y=ax2+bx+c 必过 (3,0)，又y=ax2+bx+c 必过 (-1,0)，a-b+c=09a+3b+c=0b=-2ac=-3a，y=ax2-2ax-3a，即4x-12ax2-2ax-3a，即可看成二次函数y=ax2-2ax-3a与一次函数y=4x-12仅有一个交点，且整体位于y=4x-12的上方a0， 4x-12=ax2-2ax-3a有两个相等的实数根 =0(2a+4)2-4a(12-3a)=0，(a-1)2=0，a=1，b=-2，c=-3，y=x2-2x-3（2）由（1）可知：A(3,0)，C(0,-3
36、)，设Mm,m2-2m-3,N(n,0)，当AC为对角线时，xA+xC=xM+xNyA+yC=yn+yN3+0=m+n0+(-3)=m2-2m-3+0，解得m1=0（舍），m2=2，n=1，即N1(1,0)当AM为对角线时，xA+xM=xC+xNyA+yM=yC+yN3+m=0+n0+m2-2m-3=-3+0，解得m1=0（舍）m2=2，n=5，即N2(5,0)当AN为对角线时，xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM3+n=0+m0+0=-3+m2-2m-3，解得m1=1+7,m2=1-7，n=7-2或n=-2-7，N3(7-2,0),N4(-2-7,0)综上所述：N点坐标为1,0或5,
37、0或7-2,0或-2-7,0【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键25如图（1），二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3，直线l经过B、C两点 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接A
38、P，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP4DQ的值最小时，直接写出DQ的长【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点坐标1,4(2)P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3(3)DQ=5104【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设P（t，-t+3），则M（t，-t2+2t+3），N（2-t，-t2+2t+3），则PM=t2-3t，MN=2-2t，由题意可得方程t2-3t=122-2t，求解方程即可；（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QGBC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A，连接AD与AP交于点Q，则3AP+4
39、DQ=4(DQ+34AP)=4(DQAQ)4AD，利用对称性和OBC=45，求出A(2，3)，求出直线DA的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54,34，再求DQ=5104【详解】（1）解：将点B3,0，C0,3代入y=-x2+bx+c-9+3b+c=0c=3解得b=2c=3y=-x2+2x+3y=-x2+2x+3=-x-12+4，顶点坐标1,4；（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，3k+b=0b=3解得k=-1b=3y=-x+3，设Pt,-t+3，则Mt,-t2+2t+3，N2-t,-t2+2t+3，PM=t2-3t，MN=2-2t，PM=12MN
40、，t2-3t=122-2t，t2-3t=12(2-2t)或t2-3t=-12(2-2t)，当t2-3t=12(2-2t)时， 整理得t2-2t-1=0，解得t1=1+2，t2=1-2，当t2-3t=-12(2-2t)时，整理得t2-4t+1=0，解得t3=2+3，t4=2-3，P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；（3）解：C0,3，D点与C点关于x轴对称，D0,-3，令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，A-1,0，AB=4，AQ=3PQ，Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，QGBC，AQAP=AGBA，34=AG4，AG=3，G2,0，OB=OC，O
41、BC=45，作A点关于GQ的对称点A，连接AD与AP交于点Q，AQ=AQ，AQ+DQ=AQ+DQAD，3AP+4DQ=4DQ+34AP=4DQ+AQ4AD，QGA=CBO=45，AAQG，AAG=45，AG=AG，AAG=45，AGA=90，A2,3，设直线DA的解析式为y=kx+b，b=-32k+b=3，解得k=3b=-3，y=3x-3，同理可求直线QG的解析式为y=-x+2，联立方程组y=-x+2y=3x-3，解得x=54y=34，Q54,34，D0,-3，DQ=54-02+34-32=2516+22516=5104.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键
