1、第4节 二倍角公式考试要求 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.知 识 梳 理 二倍角公式 sin 2_，cos 2_2cos21_，tan 2_.2sin cos cos2sin212sin22tan 1tan2常用结论与易错提醒二倍角公式变形(1)升降幂公式：cos21cos 22；sin21cos 22；sin cos 12sin 2.(2)配方变形公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2；12sin cos(sin cos)2.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立.()(2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同.()(3)
2、在使左右两端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立.()(4)不存在，使tan 22tan.()解析 当0时，tan 22tan，(4)不正确，如0.答案(1)(2)(3)(4)2.(2020金华十校期末调研)已知 x2，2，sin x35，则 tan 2x()A.724B.724C.247D.247解析 因为 x2，2，sin x35，所以 cos x 1sin2x45，tan xsin xcos x34，则 tan 2x 2tan x1tan2x247，故选 D.答案 D 3.若 52，72，则 1sin 1sin 的值为()A.2cos 2B.2cos 2C.2sin 2D.2sin 2
3、解析 52，72，54 274，1sin 1sin sin2cos2 sin2cos2 sin2cos2 sin2cos2 2sin2.答案 D 4.已知函数 f(x)cos24x cos24x，则 f12 的值为()A.12B.12C.32D.32解析 4x 4x 2，cos4x sin4x，f(x)cos24x cos24xcos24x sin24x cos22x sin 2x，故 f12 sin612.答案 B 5.已知 tan4 2，则 cos 2 的值是_.解析 因为 tan4 2，所以 cos 2sin22 2sin4 cos4sin24 cos242tan4tan24 145.答
4、案 456.若 sin 13，tan 0，则 cos _，tan 2_.解析 由题意知，因为 sin 0，tan 0，所以 cos 0，又 sin2cos21，故 cos 2 23，又由 tan sin cos 24，tan 2 2tan 1tan2，可知 tan 24 27.答案 2 23 4 27考点一 二倍角公式的正用【例 1】(1)(2019全国卷)已知 0，2，2sin 2cos 21，则 sin()A.15B.55C.33D.2 55(2)已知 sin cos 43，则 sin 2()A.79B.29C.29D.79解析(1)由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 2c
5、os2.又 0，2，所以 2sin cos，又 sin2cos21，所以 sin215，所以 sin 55.(2)sin 22sin cos（sin cos）21179.答案(1)B(2)A 规律方法 二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”.【训练 1】(1)(一题多解)已知 为锐角，且 tan 34，则 sin 2()A.35B.45C.1225D.2425(2)若 cos 22cos4，(0，)，则 sin 2_，tan _.解析(1)法一 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan2123491612425，故选 D.法二 由
6、 为锐角，且 tan 34，得 sin 35，cos 45，所以 sin 22sin cos 235452425，故选 D.(2)cos 22cos4，(0，)，得 cos2sin2 2cos 2sin，(0，)，即(cos sin)(cos sin)2(cos sin)，(0，)，当 cos sin 0时，4；当 cos sin 0 时，式化简为 cos sin 2，(0，)，即 sin41，(0，)，即 4，综上所述，4，则 sin 2sin21，tan tan41.答案(1)D(2)1 1 考点二 二倍角公式的逆用【例 2】(1)4cos 50tan 40()A.2B.2 32C.3D.
7、2 21(2)cos 20cos 40cos 60cos 80_.解析(1)原式4sin 40 sin 40cos 404cos 40sin 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin（12040）sin 40cos 40 3cos 40sin 40sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3，故选 C.(2)原 式 cos 20cos 40 12 cos 80 12sin 20cos 20cos 40cos 80sin 2014sin 40cos 40cos 80sin 2018sin 80cos 80sin 20116sin 160sin 20
8、116.答案(1)C(2)116规律方法 利用二倍角公式可对形如cos cos 2cos 4cos 2n的式子进行化简和计算.【训练 2】(1)化简：2cos42cos2122tan4 sin24_.(2)计算：3tan 123sin 12（4cos2122）_.解析(1)原式12（4cos44cos21）2sin4cos4cos24（2cos21）24sin4 cos4cos222sin22cos222cos 212cos 2.(2)原 式 3sin 12cos 12 32sin 12cos 24 2 312sin 12 32 cos 12cos 122sin 12cos 24 2 3sin
9、（1260）2sin 12cos 12cos 24 2 3sin（48）sin 24cos 24 2 3sin 4812sin 484 3.答案(1)12cos 2(2)4 3考点三 二倍角公式的变形应用【例 3】化简下列各式(1)22cos 82 1sin 8的化简结果是_.(2)（1sin cos）cos2sin222cos(0)_.解析(1)原式 4cos242（sin 4cos 4）22|cos 4|2|sin 4cos 4|，因为54432，所以 cos 40，且 sin 4cos 4，所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.(2)原 式 2cos222sin2c
10、os2 cos2sin24cos22cos2cos22sin22cos2cos2cos cos2.因 为0，所以 020，所以原式cos.答案(1)2sin 4(2)cos 规律方法 二倍角公式的常见变形有 1cos 22sin2，1cos 22cos2，12sin cos(sin cos)2，及 cos21cos 22，sin21cos 22，sin cos 12sin 2 等.【训练 3】求值：1cos 202sin 20 sin 101tan 5tan 5.解 原式2cos21022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10cos 104sin 10cos 102sin 10cos 102sin 202sin 10cos 102sin（3010）2sin 10cos 10212cos 10 32 sin 102sin 10 3sin 102sin 10 32.
