1、2021年山西省太原五中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1设集合Mx|2xx20，Nx|xa，若MN，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da22若复数z满足：（i为虚数单位），则等于（）A2iB2+iC23iD2+3i3设函数yln（cosx），x（，）的图象是（）ABCD4如图，设向量（3，1），（1，3），若+，且1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是（）ABCD5为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A向右平移单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度6在等差数列an中，a112a8+6，则a2+a6+
2、a7（）A18B6C8D127在的展开式中，的系数是14，则x2的系数是（）A28B56C112D2248地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示里氏震级的计算公式为：Mlg（其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量E104.8101.5M（单位：焦耳），其中M为地震震级已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的103倍，若乙地地震在距震中1
3、00公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（）A2AB10AC100AD1000A9A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进人决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是（）ABCD10已知正四棱锥PABCD的高为2，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1，若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A20BC4D11在ABC中，D是BC的中点，已知，则ABC的面积为（）ABCD12过双曲线
4、的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B已知O为坐标原点，若OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）ABCD或2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是 14任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m5，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有可能
5、取值组成的集合为 15在某市2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）已知参加本次考试的全市理科学生约100000人某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第 名（参考数值：P（X+）0.6826；P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974）16已知函数f（x），若存在实数x1，x2满足0x1x2，且f（x1）f（x2），则x24x1的最小值为 三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S39数列bn满足（1）求an和bn的通项公式
6、；（2）设数列bn的前n项和为Tn，求证：18叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直19团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量最近，某研究性学习小组就是否观过电影夺冠（中国女排）对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有95%的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影夺冠（中国女排
7、）的概率；（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影夺冠（中国女排）的人数为，求随机变量的数学期望及方差附：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82820已知椭圆C：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（3，0），B（3，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究BMO与NMO的面积之比是否为定值21已知函数f（x）xaex（aR）（1）讨论函数
8、f（x）的单调性；（2）设g（x）f（x）+2x+（a1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数的取值范围四、请在22、23题中任选一题做答如果多做，则按所做第一题记分22平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：（）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|23已知函数f（x）|xa|+2|x+1|（aR）（1）当a4时，解不等式f（x）8；（2）记关于x的不等式f（x）2|x3|的解集为M，若4，
9、1M，求a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1设集合Mx|2xx20，Nx|xa，若MN，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da2解：由已知可得M0，2，N（，a），因为MN，则只需a2，故选：B2若复数z满足：（i为虚数单位），则等于（）A2iB2+iC23iD2+3i解：2i，z23i，则，故选：D3设函数yln（cosx），x（，）的图象是（）ABCD解：x（，），0cosx1，函数ylnx为增函数，ln10ln（cosx）0，故选：A4如图，设向量（3，1），（1，3），若+，且1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是（）ABCD解：设C
10、（x，y）+（3，1）+（1，3）（3+，+3），解得，1，故选：D5为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A向右平移单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度解：，将函数的图象向右平移单位长度，可得f（x）的图象，故选：A6在等差数列an中，a112a8+6，则a2+a6+a7（）A18B6C8D12解：根据题意，设等差数列an的公差为d，由a112a8+6，得2a8a116，即a83da56，所以a2+a6+a73a518；故选：A7在的展开式中，的系数是14，则x2的系数是（）A28B56C112D224解：的展开式的通项公式为 Tr+122n2rx2n2r，
11、令2n2r2，求得rn+1，故展开式中的系数是2214，56，求得n4令2n2r82r2，求得r3，可得x2的系数是 22224，故选：D8地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示里氏震级的计算公式为：Mlg（其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量E104.8101.5M（单位：焦耳），其中M为地震震级已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能
12、量的103倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（）A2AB10AC100AD1000A解：设甲地地震震级为M1，乙地地震震级为M2，因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的103倍，所以，故M1M22，又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，因为，所以，解得Amax100A，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为Amax100A故选：C9A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进人决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的
13、条件下，A最终能获胜的概率是（）ABCD解：在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的情况有3种：第二局A胜，概率为：P1，第二局A负，第三局A胜，概率为P2，在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是：PP1+P2故选：B10已知正四棱锥PABCD的高为2，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1，若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A20BC4D解：因为正四棱锥PABCD，所以底面是正方形，结合高为2，设底面对角线交点为M，所以AC4，AM2，故PMAMCM2，所以PAC是等腰直角三角形因为截面A1B1C1D1过PM
14、的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM截面A1B1C1D1PNMNA1N1，设球心为O，球的半径为R，则A1OAOR在直角三角形A1ON中，在直角三角形AOM中，OA2AM2+OM2，即，解得R25，故S4R220故选：A11在ABC中，D是BC的中点，已知，则ABC的面积为（）ABCD解：设ABc，BCa，因为，可得sinB，在ABC中，a2+c22accosBa2+c2ac8，在ABD中，可得：a2+4c23ac8，解得a4，c2，可得故选：D12过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B已知O为坐标原点，若O
15、AB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（）ABCD或2【解答】解（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限如图，设OAB内切圆的圆心为M，则M在AOB的平分线Ox上，过点M分别作MNOA于N，MTAB于T，由FAOA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|b，又|OF|c，所以|OA|a，又，所以，所以，从而可得（2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|b，|OF|c，|OA|a，所以OAB的内切圆半径为，所以，又因为|OB|2|AB|2+a2，所以，|OB|2a，所以BOA60，AOF60，则，从而可得综上，双曲线C的离心率为或2故选：D二、填空
16、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是y28x解：设所求抛物线方程为y2ax，依题意422aa8，故所求为y28x故答案为：y28x14任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m5，则经过 5次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为 4，5，32解：m5时，各步的结果为168421，即5次步骤后变成1；
17、若5次步骤后变成1，则a61，a52，a44，a38或1，当a38时，a216，a132或a15；当a31时，a22，a14，所以m的所有可能取值组成的集合为4，5，32故答案为：5；4，5，3215在某市2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）已知参加本次考试的全市理科学生约100000人某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第 15870名（参考数值：P（X+）0.6826；P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974）解：X服从正态分布N（98，100），P（X108），又参加本次考试的全市理科学生约10
18、0000人，他的数学成绩大约排在全市第1000000.158715870故答案为：1587016已知函数f（x），若存在实数x1，x2满足0x1x2，且f（x1）f（x2），则x24x1的最小值为22ln2解：作出f（x）的图象如图所示，因为f（x1）f（x2），所以2x1lnx2，即x1lnx2，所以x24x1x22lnx2，由图可知1x2e2，令g（t）t2lnt（1te2），则g（t）1，则函数g（t）在（1，2上单调递减，在2，e2上单调递增，所以g（t）ming（2）22ln2，故答案为：22ln2三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等
19、差数列an的前n项和为Sn，且a11，S39数列bn满足（1）求an和bn的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Tn，求证：解：（1）设等差数列an的公差为d，由S39，得3a1+3d9，又a11，则d2，所以an1+2（n1）2n1；当n1时，有3，得b1，当n2时，由+2n+1得+2n1+1，两式相减得2n+1（2n1+1）2n1，所以bn，又b1不满足上式，所以bn；（2）证明：根据题意，Tnb1+b2+bn+，所以Tn+，两式相减得Tn+，故Tn18叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直解：两个平面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内
20、垂直于交线的直线与另一个平面垂直证明：设三个互相垂直的平面分别为、，且a，b，c，三个平面的公共点为O，如图所示：在平面内，除点O外，任意取一点M，过点M作MNc，MPb，M、P为垂足，则有平面和平面垂直的性质可得MN，MP，aMN，aMP，a平面再由b、c在平面内，可得ab，ac同理可证，cb，ca，从而证得a、b、c互相垂直19团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量最近，某研究性学习小组就是否观过电影夺冠（中国女排）对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）是否合计青年40
21、1050中年302050合计7030100（1）是否有95%的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影夺冠（中国女排）的概率；（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影夺冠（中国女排）的人数为，求随机变量的数学期望及方差附：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解：（1）由题意可得，K2，所以有95%的把握认为看此电影与年龄有关；（2）由题意可知，从样本的中年人中，按分层抽样的方法抽取的5人，其中观看过电影的有3人，没观看
22、过的有2人，记抽取的3人中有i人观看过电影为事件Ai，（i1，2，3），则，从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人观看过电影的概率为PP（A2）+P（A3）；（3）由题意可知，观看过该电影的频率为，将频率看作概率，则随机变量服从二项分布B（10，），所以随机变量的数学期望为E（）107，方差为D（）10（1）2.120已知椭圆C：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A（3，0），B（3，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究
23、BMO与NMO的面积之比是否为定值解：（1）由题意可得e，a3，所以c，由椭圆的定义可得b2a2c2963，所以椭圆的标准方程为：+1；（2）设P（x0，y0），（y00），则+1，直线AP的方程为：y（x+3），与x4联立可得E（4，），所以直线BE的斜率kBE，由题意可得直线l的方程为：yx，直线BP的方程为：y（x3），令x0，则y，即M（0，），联立解得x，由可得：xN，即N的轨迹方程为x，所以，所以BMO与NMO的面积之比为定值4：721已知函数f（x）xaex（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）f（x）+2x+（a1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，
24、且g（x1）+g（x2）（x1+x2）恒成立，求实数的取值范围【解答】解（1）因为数f（x）xaex（aR），所以f（x）1aex当a0时，因为ex0，所以f（x）0，此时函数f（x）的单调递增区间为（，+）当a0时，令f（x）0，解得xln当x时，f（x）0，当x时，f（x）0此时，f（x）的单调递增区间为（，），f（x）的单调递减区间为（ln）综上所述：当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（，+），当a0时，f（x）的单调递增区间为（，），f（x）的单调递减区间为（ln）（2）因为g（x）f（x）+2x+（a1）x，所以g（x）e2xaex+a依题意，解得a4因为x1和x2是g（x）的极
25、值点，所以，则x1+x2lna所以g（x1）+g（x2）（）+（），alnaa所以，由g（x1）+g（x2）（x1+x2），可得alnaalna，因为a4，lna0，所以等价于令（x）x，则（x），（x（4，+），由于，所以（x）0，所以（x）在（0，+）单调递增，且（4）4所以，（a）所以的取值范围是四、请在22、23题中任选一题做答如果多做，则按所做第一题记分22平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：（）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|解：
26、（）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线的普通方程为x+y10曲线C的极坐标方程是：，根据，转换为直角坐标方程为（）P（0，1）在直线l上，把直线的参数方程为（t为参数）代入，得到，所以23已知函数f（x）|xa|+2|x+1|（aR）（1）当a4时，解不等式f（x）8；（2）记关于x的不等式f（x）2|x3|的解集为M，若4，1M，求a的取值范围解：（1）a4时，f（x）|x4|+2|x+1|，若f（x）8，不等式可转化为，解得：2x1或1x2或x，综上，不等式的解集是（2，2）（2）若4，1M，f（x）2|x3|，即当x4，1时，|xa|+2|x+1|2|x3|恒成立，在4，1上，x+10，x30，|x+1|x1，|x3|3x，f（x）2|x3|等价于|xa|8，即8xa8，当x4，1时该不等式恒成立，解得9a4即a的范围是9，4
