1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二学业分层测评1.5 柱坐标系和球坐标系 1.5.1 柱坐标系 1.5.2 球坐标系 上一页返回首页下一页1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置.(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(难点)上一页返回首页下一页基础初探1.柱坐标系(1)柱坐标设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，M 点在 xOy 坐标面上的投影点为M0，M0 点在 xOy 平面上的极坐标为(，)，如图 1-5-1 所示，则三个有序数，z 构成的数组(，z)称为空间中点 M 的柱坐标.在柱坐标中，限定0,02，z 为任意实数
2、.上一页返回首页下一页图 1-5-1上一页返回首页下一页(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式空间点 M(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为xcos ysin zz.上一页返回首页下一页2.球坐标系(1)球坐标设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，点M 在 xOy 坐标面上的投影点为 M0，连接 OM 和 OM0.图 1-5-2上一页返回首页下一页如图 1-5-2 所示，设 z 轴的正向与向量OM 的夹角为，x 轴的正向与OM0 的夹角为，M 点到原点 O 的距离为 r，则由三个数 r，构成的有序数组(r，)称为空间中点 M 的球坐标.若设投影点 M0 在 xOy 平面上的极坐
3、标为(，)，则极坐标 就是上述的第二个球坐标.在球坐标中限定 r0,02，0.上一页返回首页下一页(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式空间点 M(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换公式为xrsin cos yrsin sin zrcos.上一页返回首页下一页思考探究1.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？【提示】空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.2.在柱坐标系中，方程 1 表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程 r1 分别表示空间中的什么曲面？【提示】柱坐标系中，1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱面；球坐标系中，方程 r1 表示球心在原点的单位
4、球面.上一页返回首页下一页自主测评1.在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为(2，4，3)，P 在 xOy 平面上的射影为 Q，则 Q 点的坐标为()A.(2,0,3)B.(2，4，0)C.(2，4，3)D.(2，4，0)【解析】由点的空间柱坐标的意义可知，选 B.【答案】B上一页返回首页下一页2.已知点 A 的柱坐标为(1,0,1)，则点 A 的直角坐标为()A.(1,1,0)B.(1,0,1)C.(0,1,1)D.(1,1,1)【解析】xcos 1cos 1，ysin 0，z1.【答案】B上一页返回首页下一页3.设点 M 的直角坐标为(1，3，3)，则它的柱坐标是()A.(2，3，3)B.
5、(2，23，3)C.(2，43，3)D.(2，53，3)上一页返回首页下一页【解析】12 322，tan 31 3，3或43.又M 的直角坐标中 x1，y 3，排除 3，43.M 的柱坐标为(2，43，3).【答案】C上一页返回首页下一页4.设点 M 的直角坐标为(1，1,0)，则它的球坐标为()【导学号：62790006】A.(2，4，0)B.(2，54，2)C.(2，54，0)D.(2,0，4)上一页返回首页下一页【解析】由坐标变换公式，得 r x2y2z2 2，cos zr0，2.tan yx1，54.【答案】B上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探
6、讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页类型一 点的柱坐标与直角坐标互化 设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标.【精彩点拨】已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式xcos，ysin，zz.求出，即可.上一页返回首页下一页【尝试解答】设 M 的柱坐标为(，z)，则有1cos，1sin，z1，解之得，2，4.因此，点 M 的柱坐标为(2，4，1).上一页返回首页下一页由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为，z代入变换公式xcos，ysin，zz.求；也可以利用 2x2y2，求.利用 tan yx
7、，求，在求 的时候特别注意角 所在的象限，从而确定 的取值.上一页返回首页下一页再练一题1.根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，56，3)；(2)(2，4，5).上一页返回首页下一页【解】设点的直角坐标为(x，y，z).(1)(，z)(2，56，3)，xcos 2cos56 3，ysin 2sin56 1，z3，因此所求点的直角坐标为(3，1,3).上一页返回首页下一页(2)(，z)(2，4，5)，xcos 2cos41，ysin 2sin41，z5.故所求点的直角坐标为(1,1,5).上一页返回首页下一页类型二 将点的球坐标化为直角坐标 已知点 M 的球坐标为(2，34，34)，
8、求它的直角坐标.【精彩点拨】球坐标 xrsin cos，yrsin sin，zrcos 直角坐标 上一页返回首页下一页【尝试解答】设点的直角坐标为(x，y，z).(r，)(2，34，34)，x2sin34cos342 22(22)1，y2sin34sin342 22 22 1，z2cos342(22)2.因此点 M 的直角坐标为(1,1，2).上一页返回首页下一页1.根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，)中角，的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 02，0.2.化 点 的 球 坐 标(r，)为 直 角 坐 标(x，y，z)，需 要 运 用
9、公 式xrsin cos，yrsin sin，zrcos.转化为三角函数的求值与运算.上一页返回首页下一页再练一题2.若“例 2”中点 M 的球坐标改为 M(3，53，56)，试求点 M 的直角坐标.上一页返回首页下一页【解】设 M 的直角坐标为(x，y，z).(r，)(3，53，56)，xrsin cos 3sin56 cos53 34，yrsin sin 3sin56 sin53 3 34，zrcos 3cos56 3 32.点 M 的直角坐标为(34，3 34，3 32).上一页返回首页下一页类型三 空间点的直角坐标化为球坐标 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，底面正方形 ABC
10、D 的边长为 1，棱 AA1 的长为 2，如图 1-5-3 所示，建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标和球坐标.图 1-5-3上一页返回首页下一页【精彩点拨】先确定 C1 的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标.上一页返回首页下一页【尝试解答】点 C1 的直角坐标为(1,1，2).设 C1 的球坐标为(r，)，其中 r0,02，0，由 xrsin cos，yrsin sin，zrcos，r x2y2z2 12 22122.由 zrcos，cos 22，4.又 tan yx1，4，从而点 C1 的球坐标为(2，4，4).上一页返回首页下一页1.
11、由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球坐标为(r，)，再利用变换公式xrsin cos，yrsin sin，zrcos.求出 r，.2.利用 r2x2y2z2，tan yx，cos zr.特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误.上一页返回首页下一页再练一题3.若本例中条件不变，求点 C 的柱坐标和球坐标.上一页返回首页下一页【解】易知 C 的直角坐标为(1,1,0).设点 C 的柱坐标为(，0)，球坐标为(r，)，其中 0，02.(1)由于 x2y2 1212 2.又 tan yx1，4.因此点 C 的柱坐标为(2，4，0).上一页返回首页下一页(
12、2)由 r x2y2z2 12120 2.cos zr0，2.故点 C 的球坐标为(2，2，4).上一页返回首页下一页真题链接赏析(教材 P21 练习 T2)设点 M 的柱坐标为(2，6，7)，求它的直角坐标.在柱坐标系中，点 M 的柱坐标为(2，23，5)，则|OM|_.【命题意图】本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画.上一页返回首页下一页【解析】设点 M 的直角坐标为(x，y，z).由(，z)(2，23，5)知 xcos 2cos231，y2sin23 3.因此|OM|x2y2z2 12 32 523.【答案】3上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评（四）点击图标进入
