1、第5节 根式、指数、对数考试要求 1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.知 识 梳 理 1.根式与指数幂的运算(1)根式 概念：式子na叫做_，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.性质：(na)na(a 使na有意义)；当 n 为奇数时，nana，当 n 为偶数时，nan|a|a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义是 amn(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂.有理指数幂的运算性质：aras；(ar)s；(ab)r，其中 a0，b0，r，sQ.nam1nam没有意
2、义arsarsarbr2.对数与对数的运算(1)对数的概念 如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质 loga10；logaa1；alogaN；logaabb(a0，且a1).xlogaNN(3)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)_；logaMN_；logaMn_(nR).(4)换底公式_(a，b 均大于零且不等于 1).logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogbNlogaNlogab常用结论与易错提醒已知 a，b，c，d，M，N 都满足条件，则：(1)logamMnn
3、mlogaM(m，nR，且 m0)；(2)logab 1logba，推广 logablogbclogcdlogad.诊 断 自 测1.(必修 1P52 例 5 改编)化简(2)612(1)0 的结果为()A.9 B.7 C.10 D.9解析 原式(26)121817.答案 B 2.若loga2logb20，则()A.0ab1B.0bab1D.ba1 解析 loga2logb20lg 2lg alg 2lg b0lg blg a0，故 0ba0，b0)；(2)27823(0.002)1210(52)1(2 3)0.解(1)原式（a3b2a13b23）12ab2a13b13a3216113b113
4、213ab1.(2)原式2782315001210521 827235001210(52)14910 510 52011679.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练 1】化简求值：(1)23502221412(0.01)0.5；(2)（a23b1）12a12b136ab5.解(1)原式114491211001211423 110116 1101615.(2)原式a
5、13b12a12b13a16b56a131216b1213561a.考点二 对数的运算【例 2】(1)设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于()A.10B.10 C.20 D.100(2)计算：lg14lg 25 10012_.解析(1)由已知，得 alog2m，blog5m，则1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.解得 m 10.(2)原式(lg 22lg 52)10012lg12252 10lg 1021021020.答案(1)A(2)20 规律方法(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运
6、算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练 2】(1)(2017全国卷)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x32(由 ln 32ln 23 可得)，又 x，y为正数，2x3y.xln 2zln 5，则xzln 5 ln 2 52(由 ln 52ln 25 可得)，又 x，z 为正数，2x5z，3y2x5z，故选 D.(2)由 ab1，得 0logab1，又因为 logablogbalogab1logab52，解得 logab12，所以 a12b，即 b2a，所以b2a 1.答案(1)D(2)12 1
