1、（云南省玉溪一中2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）16.如图，是等腰直角三角形，是线段上的动点，且，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，即可得到的坐标，设，即可表示出的表达式，然后利用二次函数知识可求出的范围。【详解】以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以，故，当时，取得最小值为，当或时，取得最大值为，故的取值范围是.【点睛】本题考查了平面向量的性质，向量的数量积，考查了二次函数的性质，属于中档题。（湖北省沙市中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）7.已知向
2、量，且两向量夹，则（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要求，由题意先计算出，然后由计算出结果【详解】，又，且两向量夹角为20，故选【点睛】本题考查了由向量坐标计算向量的模，熟练运用公式进行求解，较为简单（湖北省荆州中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）10.如图在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E为边CD的中点，若则=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量线性运算法则可得，利用平面向量数量积公式，即可求出的值【详解】因为平行四边形中，是边的中点，=,故选A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及平面向量数量积公式的应用问
3、题，是基础题向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.（湖北省荆州中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）14.已知都是单位向量，夹角为60，若向量，则称在基底下的坐标为，已知在基底下的坐标为（2，3），则_.【答案】【解析】【分析】利用向量在基底下的坐标形式表示出，然后利用模的运算对进行平方，从而求出.【详解】解：因为在基底下的坐标为（2，3），所以=，= 所以.故答案为.【点睛】本题是新概念的问题，关键是把的线性关系正确的表示出来.（北京市西城区2018-2019学年高一第一学期期末考试数学试题）7.已知为单位向量，且，那么向量的夹角
4、是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合向量的夹角公式求解向量的夹角即可.【详解】设向量的夹角是，由题意可得：，则，即向量的夹角是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查平面向量夹角的计算，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（北京市西城区2018-2019学年高一第一学期期末考试数学试题）10.在中，是BC边上的动点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合平面向量的加减法和向量的数量积运算法则确定的取值范围即可.【详解】设，则：，由于，故：，由于，故，结合一次函数的性质可知.本题选择A选项.【点睛】求
5、两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用（安徽省宿州市十三所重点中学2018-2019学年高一第一学期期末质量检测数学试题）5.已知，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据投影的定义，结合向量夹角公式即可求出结果.【详解】因为，所以向量在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题型.（福建省八县（市）一中2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）7.若向量，则在方向上的投影为（ ）A. -2 B. 2 C. D. 【答案
6、】A【解析】向量，所以，|=5，所以在方向上的投影为 =-2故选A（福建省八县（市）一中2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）9.若向量 为互相垂直的单位向量， 且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围是 ( )A. B. (，2)C. D. 【答案】B【解析】【分析】由与夹角为锐角，可得且不共线，再代入向量解不等式即可得到答案【详解】由题意可得：与夹角为锐角，（）12m0，且不共线当时，可得m2所以实数的取值范围是 （，2）（2，）故选：B【点睛】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当 与 的夹角为锐角可得，且不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.（
7、浙江省“温州十校联合体”2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）7.在中，则在方向上的投影是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将转化为，将两边平方，证得，在直角三角形中，求得夹角的余弦值，以及 ，代入公式求得题目所求在方向上的投影.【详解】，两边平方并化简得，即，故三角形为直角三角形，所以，.所以在方向上的投影.故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积，考查向量投影的计算，属于基础题.（浙江省“温州十校联合体”2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）16.已知平面向量与的夹角为锐角，且的最小值为，若向量满足，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析
8、】根据的最小值为可知的夹角为，画出向量对应的平面图形，建立平面直角坐标系，求得两点的坐标，设出的坐标，代入，求得坐标满足的方程，根据这个方程对应的曲线是圆，由圆上的点和原点的距离的最大值和最小值，求得的取值范围.【详解】画出图像如下图所示，其中，设.由于的最小值为，根据向量加法的几何意义可知,而，故，.以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设.由于，即，化简得，即对应的点在以为圆心，半径为的圆上，而表示圆上的点到原点的距离.圆心到原点的距离为，故的取值范围是.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量加法的几何意义，考查建立平面直角坐标系的方法研究向量模的取值范围，考
9、查化归与转化的数学思想方法、考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题的关键点在于将的坐标满足的方程转化为圆的方程，将模的为题转化为圆上的点到原点距离来求解.（江苏省南京市2018-2019学年高一上学期期末调研数学试题）6.如图，在直角三角形中，垂足为，则 的值为_【答案】【解析】【分析】把代入化简通过向量的数量积的定义求解即可【详解】解：在直角三角形ABD中，BDABcos601（）4+21cos1203故答案为：3【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力（江苏省南京市2018-2019学年高一上学期期末调研数学试题）9.已知向量 与 满足，又，且在时取到
10、最小值，则向量 与 的夹角的值为_【答案】【解析】【分析】由向量的模的运算得：|2（1t）t2（5+4cos）t22（1+2cos）t+1，由二次函数的最值用配方法可得解【详解】解：设向量与的夹角的值为，由t，（1t），（1t）t，|2（1t）t2，（1t）2+4t24t（1t）cos（5+4cos）t22（1+2cos）t+1，又5+4cos0，所以当t，解得：cos，又0，所以，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数量积及二次函数的最值问题，属中档题（江苏省南京市2018-2019学年高一上学期期末调研数学试题）13.在平行四边形中，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
11、解析】【分析】由11，结合向量加法的平行四边形法则及向量数量积的运算可求，然后代入，（）即可求解【详解】解：平行四边形ABCD中，AB4，AD3，又11，911，2，则（）16+218故选：C【点睛】本题主要考查了向量加法的 平行四边形法则及向量数量积的基本运算，属于基础试题（吉林省白山市2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题）13.设向量=（2，0），=（0，），则（+）=_【答案】【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算直接得结果【详解】解：（）（2，0）（2，0）（0，）（2，0）（2，）4故答案为：4【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的坐标运算，是基础题目（湖南省张
12、家界市2019高一第一学期期末联考数学试题）10.已知向量与单位向量的夹角为，且，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量夹角公式建立关于实数m的方程，解之即可.【详解】因为向量，则|3，由单位向量，则|1，6m，由数量积表示两个向量的夹角得：，则m0且64m29，解得：m，故选：C【点睛】本题考查了数量积的定义，夹角公式及模的求法，属于中档题.（安徽省六安市毛坦厂中学、金安高级中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题）8.若平面向量与的夹角是180，且，则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则 （1）又（2）， 由（1）（2）可
13、解得x=-3,y=6故选A；（江苏省扬州市20182019学年度第一学期高一期末检测试题数学）5.设向量，且，则（ ）A. 3 B. -2 C. 1或-2 D. 1或3【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，根据即可得出=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值【详解】；=m(m+1)-2=0；解得m1或2故选：C【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算，考查向量垂直的充要条件，属于常考题（江苏省扬州市20182019学年度第一学期高一期末检测试题数学）15.如图，在平行四边形中，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点若， ，则_【答案】【解析】【分析】用表示，解出，然后利用向量的模的公式计算
14、即可得到的值.【详解】,则，则故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数量积的计算方法和向量的模的求法，属于基础题.（黑龙江省鸡西市龙东南七校联考2018-2019学年高一上学期期末数学试题）3.已知向量，满足，则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积公式计算即可【详解】向量，满足，则，故选：B【点睛】本题考查向量的数量积公式，属于基础题（黑龙江省鸡西市龙东南七校联考2018-2019学年高一上学期期末数学试题）9.已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为与的夹角为锐角，所以
15、cos0，且与不共线，由得，k2且，故选B。考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量夹角公式。点评：基础题，由夹角为锐角，可得到k得到不等式，应注意夹角为0时，夹角的余弦值也大于0.（黑龙江省鸡西市龙东南七校联考2018-2019学年高一上学期期末数学试题）14.向量与，则向量在方向上的投影为_【答案】【解析】试题分析：在方向上的投影为考点：向量的投影（黑龙江省鸡西市龙东南七校联考2018-2019学年高一上学期期末数学试题）17.已知，是夹角为的两个单位向量，且向量，求：，；向量与夹角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据，是夹角为的两个单位向量即可求出，然后利用向量的模的公式
16、和数量积公式即可求得结果;根据即可求出向量夹角的余弦值【详解】是夹角为的两个单位向量；，；【点睛】本题考查向量模的公式，考查向量数量积计算公式以及向量夹角的余弦公式，属于基础题（安徽省六安市毛坦厂中学、金安高级中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题）21.在平行四边形中，点E、点F分别为边BC和CD上的动点 (1)如图，若平行四边形是矩形且点E、点F分别为边BC和CD上的中点，求的值；(2)如图，若，且，求的值【答案】(1)32(2)126【解析】【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，求得的坐标，由此求得它们的数量积.（2）将分解到上，利用题目所给已知条件，代入数量积的运算，求得
17、运算的结果.【详解】（1）以为原点建立平面直角坐标系，故，故，所以.（2）依题意可知 .【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量的线性运算以及数量积运算，属于中档题.（吉林省白山市2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题）19.设向量，满足|=5，|=3，且（-）（2+3）=13（1）求与夹角的余弦值；（2）求|+2|【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得10再由cos可得结果；（2）由|2|可得结果【详解】解：（1）设与夹角为，（-）（2+3）=13，=-10，cos=-；（2）|+2|=【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力，属基础题（江苏省
18、南京市2018-2019学年高一上学期期末调研数学试题）15.已知向量，向量满足（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设（x，y），由5，得 ，得 （3，1）；（2）由（2，1），（3，1），可得|，|，进一步得cos，又 0，可得【详解】解：（1）设=（x，y），因为=（2，1），=（1，-2），=5，所以解得所以=（3，-1）；（2）因为=（2，1），=（3，-1），所以|=，|=，又=23+1（-1）=5，所以cos=，又0，所以=【点睛】本题考查向量的数量积的应用及坐标运算，考查计算能力（江苏省南京市2018-2019学年高一上学期期末调
19、研数学试题）19.如图，在中，是边上一点，且（1）设，求实数，的值；（2）若点满足 与 共线， ，求的值【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）把两边用表示即可得解；（2）利用共线向量建立，之间的数乘关系，进而结合（1）把用表示，利用垂直向量点积为零可得解【详解】解：（1），x=，y=；（2）共线，可设，R，=-=，=，=，把代入并整理得：，解得：，=或故的值为或【点睛】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，数量积等，难度适中（四川省成都市2018-2019学年高一上学期期末调研考试数学试题）21.已知点，其中，.（1）若，求的值；（2）若函数的最小值为，求的表达式.【答案】（1）；
20、（2）见解析【解析】【分析】(1)由向量的模的公式和同角三角函数关系式化简即可得到x值；（2）由向量的数量积坐标公式得到函数f(x)，通过换元，将三角函数式转为求二次函数在区间上的最小值问题.【详解】（1）， .，（2）.令，则 .（1）当时，.（2）当时，（i），即或时，对称轴.（ii）.当，即时， .当，即或时，.综上所述，.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的计算，考查化归转化思想，属于中档题.（湖北省宜昌市协作体2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）18.已知，与的夹角为60试求：（1）；（2）与的夹角的余弦值【答案】（1）（2）-【解析】【分析】（1）将两边平方
21、，代入已知条件计算出结果，再开方求得的值.（2）利用（1）的方法，计算出的值，再利用夹角公式计算出与的夹角的余弦值.【详解】（1）|ab|2=a2b22ab =916234cos60=37|ab|= （2）|ab|2=a2b22ab=916234cos60=13|ab|= cos=【点睛】本小题主要考场向量数量积的运算，考查向量模的问题的求解策略，属于基础题.（安徽省宿州市十三所重点中学2018-2019学年高一第一学期期末质量检测数学试题）18.已知平面直角坐标系内四点(1)若四边形OQAP是平行四边形，求的值；(2)求.【答案】(1)m=k=(2)【解析】【分析】(1)由题意得，因为四边形
22、OQAP是平行四边形，所以，从而可得关于的方程组，求解即可；(2)由题中条件得到，结合向量的夹角公式即可求出结果.【详解】(1) 由题意知，四边形OQAP是平行四边形，(2)由题知，=.【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式以及共线向量定理的运用，属于基础题型.（湖北省荆州中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）18.给定平面向量，且， .（1）求和；（2）求在方向上的投影.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据向量平行与垂直的坐标关系列出方程组解出x，y即可；（2）利用投影公式计算.【详解】（1），即 ，得，（2），故，在方向上的投影为【点睛】考查向量平行与垂直的线性运算以及投影公式.（云南省玉溪一中2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）18.已知，且与的夹角为.（1）求；（2）若 ，求实数的值.【答案】(1)2(2) 【解析】【分析】（1）由即可得到答案；(2)由，得到，即可求出的值。【详解】（1），.（2）因为，所以，即：，解得：【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了向量垂直的性质，考查了计算能力，属于中档题。
