1、第四章三角函数、解三角形第三讲三角函数的图象与性质练好题考点自测 1.2021惠州市调考将函数y=sin x的图象向左平移2个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的最小正周期为C.y=f(x)的图象关于直线x=2对称D.y=f(x)的图象关于点(-2,0)对称2.2019全国卷,8,5分文若x1=4,x2=34是函数f(x)=sin x(0)两个相邻的极值点,则=()A.2B.32C.1D.123.2019全国卷,9,5分下列函数中,以2为周期且在区间(4,2)上单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin
2、 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|图4-3-14.2020全国卷,7,5分文设函数f(x)=cos(x+6)在-,的图象大致如图4-3-1,则f(x)的最小正周期为()A.109B.76C.43D.325.2020全国卷,12,5分文已知函数f(x)=sin x+1sinx,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=对称D.f(x)的图象关于直线x=2对称6.2020江苏,10,5分将函数y=3sin(2x+4)的图象向右平移6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.7.2018北京,11,5分设函数f(
3、x)=cos(x-6)(0).若f(x)f(4)对任意的实数x都成立,则的最小值为.拓展变式1.2021河北六校第一次联考函数f(x)=sin(x+)(0,|2)的部分图象如图4-3-3所示,若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移b(0b0,|0,|0,0,|0),xR.若f(x)在区间(,2)内没有零点,则的取值范围是()A.(0,18B.(0,1458,1)C.(0,58D.(0,1814,588.(1)已知函数f(x)=sin(x+3)(0),若f(x)在0,23上恰有两个零点,则的取值范围是()A.(1,52)B.1,52)C.(52,4)D.52,4)(2)2020大连6月二模已知函数
4、f(x)=2sin(x+)+1(0,|2), 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,若f(x)1对任意的x(-12,3)恒成立,则的取值范围是()A.(6,3)B.12,3C.12,2D.6,3答 案第四章三角函数、解三角形第三讲三角函数的图象与性质1.D将函数y=sin x的图象向左平移2个单位长度,得到函数y=f(x)=sin(x+2)=cos x的图象,所以y=f(x)是偶函数,排除A;y=f(x)的最小正周期T=21=2,排除B;y=f(x)的图象关于直线x=k(kZ)对称,排除C.故选D.2.A依题意得函数f(x)的最小正周期T=2=2(34-4)=,解得=2,故选A.3.A对于
5、A,作出y=|cos 2x|的图象如图D 4-3-1所示,由图象知,其周期为2,在区间(4,2)上单调递增,A正确;图D 4-3-1对于B,作出y=|sin 2x|的图象如图D 4-3-2所示,由图象知,其周期为2,在区间(4,2)上单调递减,B错误;图D 4-3-2对于C,y=cos|x|=cos x,周期为2,C错误;对于D,作出y=sin|x|的图象如图D 4-3-3所示,由图象知,其不是周期函数,D错误.图D 4-3-3故选A.4.C解法一由题图知, f(-49)=0,-49+6=2+k(kZ),解得=-3+9k4(kZ).设f(x)的最小正周期为T,易知T22T,2|24|,1|2,
6、由=-3+9k4(kZ)知当且仅当k=-1时,符合题意,此时=32,T=2=43.故选C.解法二由题图知,f(-49)=0且f(-)0,-49+6=-2(0),解得=32,f(x)的最小正周期T=2=43.故选C.5.D由题意得sin x-1,0)(0,1.对于A,当sin x(0,1时,f(x)=sin x+1sinx2sinx1sinx=2,当且仅当sin x=1时取等号;当sin x-1,0)时,f(x)=sin x+1sinx=-(-sin x+1-sinx)-2-sinx1-sinx=-2,当且仅当sin x=-1时取等号,所以A错误.对于B, f(-x)=sin(-x)+1sin(
7、-x)=-(sin x+1sinx)=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,所以B错误.对于C,f(x+)=sin(x+)+1sin(x+)=-(sin x+1sinx),f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=sin x+1sinx,则f(x+)f(-x),f(x)的图象不关于直线x=对称,所以C错误.对于D,f(x+2)=sin(x+2)+1sin(x+2)=cos x+1cosx,f(2-x)=sin(2-x)+1sin(2-x)=cos x+1cosx,所以f(x+2)=f(2-x),f(x)的图象关于直线x=2对称,所以D正确.故选D.6.x=-524将函数y=3
8、sin(2x+4)的图象向右平移6个单位长度,得到y=3sin2(x-6)+4=3sin(2x-12)的图象,由2x-12=2+k,kZ,得对称轴方程为x=724+12k,kZ,其中与y轴最近的对称轴的方程为x=-524.7.23由于对任意的实数x都有f(x)f(4)成立,故当x=4时,函数f(x)有最大值,故f(4)=1,4-6=2k(kZ),=8k+23(kZ),又0,min=23.1.38根据函数的图象可得14T=38-8=4,所以T=,所以2=,所以=2,又f(8)=1,所以sin(28+)=1,所以+4=2k+2,kZ,所以=2k+4,kZ,因为|2,所以=4,所以f(x)=sin(
9、2x+4).将f(x)的图象沿x轴向右平移b个单位长度得到函数y=sin2(x-b)+4=sin(2x+4-2b)的图象,因为函数y=sin(2x+4-2b)是偶函数,所以4-2b=k+2,kZ,所以b=-k2-8,kZ,因为0b2,所以b=38.2.D由题中图象,得2sin(2+)=1,2sin(8+)=0,即sin(2+)=22,sin(8+)=0.由“五点作图法”知点(8,0)为第一个零点,所以2+=34,8+=0,解得=2,=-4,所以f(x)=2sin(2x-4).由2+2k2x-432+2k(kZ)得38+kx78+k(kZ),即函数f(x)的单调递减区间为38+k,78+k(kZ
10、),故选D.3.1f(x)=sin2x+3cos x-34=-cos2x+3cos x+14=-(cos x-32)2+1.因为x0,2,所以cos x0,1,因此当cos x=32时,f(x)max=1.4.C由题意知,|f(x)|2,且|f(x1)-f(x2)|=4,不妨设f(x1),f(x2)分别为函数f(x)的最大值、最小值.因为|x1-x2|min=32,所以12T=122=32,得=23.又f(2)=0,所以sin(232+)=0,又|0,0,|2),由题意知,B=7 000,A+B=9 000,故A=2 000.可作出函数简图如图D 4-3-5所示.T=2(9-3)=12,=2T
11、=6.则f(x)=2 000sin(6x+)+7 000,则有63+=k+2,kZ,=k,kZ,又|2,=0,故f(x)=2 000sin6x+7 000(1x12,xN*),f(7)=2 000sin76+7 000=6 000.故7月份的出厂价格为6 000元.图D 4-3-57.Df(x)=12(1-cos x)+12sin x-12=12sin x-12cos x=22sin(x-4).解法一因为x(,2),所以x-4(-4,2-4).因为f(x)在(,2)内无零点,故T2,即01,且k-4,2-4k+(kZ).当k=-1时,解得(0,18;当k=0时,解得14,58,当k-1或k1时
12、,不满足题意,故(0,1814,58.故选D.解法二当=12时, f(x)=22sin(12x-4),x(,2)时,f(x)(12,22,无零点,排除A,B;当=316时,f(x)=22sin(316x-4),x(,2)时,当x=43时,f(x)=0,所以f(x)有零点,排除C.选D.8.(1)D当0x23时,3x+323+3.若f(x)在0,23上恰有两个零点,则223+33,解得520,|2),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,故函数的最小正周期为T=2=,解得=2.所以f(x)=2sin(2x+)+1.由题意,f(x)1对任意的x(-12,3)恒成立,即当x(-12,3)时,sin(2x+)0恒成立.令t=2x+,因为x(-12,3),所以t(-6,+23).故要使sin t0恒成立,只需-62k,+232k+(kZ),解得2k+62k+3(kZ).显然,当k=0时,63,故选D.
