1、数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数为纯虚数虚数单位，则实数A. 1B. C. 2D. 2. 已知集合，则A. B. C. D. 3. 已知，则A. B. C. D. 4. 掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为 A. B. C. D. 5. 若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为A. B. C. D. 6. 已知实数x，y满足，则的最大值是A. 2B. 4C. 6D. 87. 函数的部分图象如图所示，如果，且，则A. B. C. D. 8. 已知函数，给出下列两个命题：命题p：，方程有实数解；命题q：当时，则下列命题为真命题的是A. B.
2、C. D. 9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为 参考数据：，A. 12B. 24C. 36D. 4810. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 A. ；B. ；C. ；D. 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四
3、点共圆，则该椭圆的离心率为A. B. C. D. 12. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知为单位向量，若，则 _ 14. 已知为等差数列，公差为1，且是与的等比中项，则_15. 如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，过点B的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为_ 16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在直角坐标系xOy中，直线，曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
4、系求的极坐标方程和的普通方程；把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线，与交于A，B两点，求18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求B的大小；若的面积为，求a，b，c的值19. 已知数列为等差数列，其前n项和为，且数列也为等差数列求数列的通项公式；设，求数列的前n项和20. 在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表 坐标系与参数方程不等式选讲人数及均分人数均分人数均分男同学14867女同学812求全班选做题的均分；据此判断是否有的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选讲与性别有关？已知学习委员甲女和数学科代表乙男都选做不等式选讲若在不等式选讲中按性别分层抽样抽
5、取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望参考公式：，下面临界值表仅供参考： 21. 如图几何体中，四边形ABCD为矩形，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且证明：面BDG；证明：面面BFC；求三棱锥的体积V22. 已知函数，且直线和函数的图象相切求实数k的值；设，若不等式对任意恒成立为的导函数，求m的最大值答案和解析1.【答案】B【解析】解：为纯虚数，故选：B利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.【答案】C【解析】解：，解得，由N中，得到，即，则故选：C求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的
6、交集即可此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3.【答案】C【解析】解：，则，故选：C利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得式子的值本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题4.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题根据题意，进行求解即可【解答】解：掷一枚均匀的硬币3次，共有8种不同的情形：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，其中满足条件的有3种情形：正正反，正反正，反正正，故所求的概率故选A5.【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线的方程为：，变形可得，又由其虚轴长为4，则有，即，则双曲线的标准
7、方程为：，其中，则双曲线的焦距，故选A根据题意，将双曲线的方程变形可得，由双曲线的几何性质，分析可得，代入双曲线的方程可得双曲线的标准方程，计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程，求出m的值6.【答案】D【解析】解：如图所示，不等式组所表示的区域为图中阴影部分：其中，故选：D画出约束条件的可行域，求出三角形的顶点坐标，代入目标函数求解即可本题考查线性规划的应用，交点代入法，是解答线性规划的有效防范之一，考查数形结合以及计算能力7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，属于中档题利用函数的周期求出，再利用五点作图法求出的值，
8、再利用函数图象的对称性，求得，可得的值【解答】解：由函数的部分图象，可得，再根据五点法作图可得：，因此在上，且，则，故选：A8.【答案】B【解析】解：函数，当时，不存在满足的x值；当时，时，故命题p为假命题当时， 命题q为真命题，故命题，均为假命题，为真命题，故选B根据已知中的分段函数，分别判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，分段函数的图象和性质，难度中档9.【答案】B【解析】【分析】本题考查程序框图的应用，考查了计算能力，属于基础题列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可
9、得：，不满足条件，不满足条件，满足条件，退出循环，输出n的值为24故选B10.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间几何体的三视图，球的表面积，简单组合体及其特征，属基础题把四棱锥补成长方体，利用长方体与四棱锥外接球相同，根据长方体性质，求出对角线长，进而得到外接球半径，然后代入球的表面积公式计算【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥，底面为正方形，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，把四棱锥补成长方体，则长方体的长宽高分别为2，2，4，长方体的外接球就是四棱锥的外接球，外接球的直径，外接球的表面积故选D11.【答案】C【解析】解：如图所示，F，P，A四点共圆，即，故选C由O，F，P，A四点共圆得，
10、即，本题考查了椭圆的离心率，运用平面几何知识及椭圆定义是解题关键，属于基础题12.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于较难题画出函数的图象，分类讨论，当直线与曲线相切于点时，求出a的值，再讨论直线与函数的图象的交点情况；当直线与曲线相切时，求出切点，然后判断求解a的取值范围【解答】解：函数的图象如下图所示：当直线与曲线相切于点时，故当或时，直线与函数的图象恰有一个交点当时，直线与函数的图象恰有两个交点，当直线与曲线相切时，设切点为，则，解得，或，当时，直线与函数的图象恰有一个交点当或时，直线与函数的图象恰有两个交点当时，直线与函
11、数的图象恰有三个交点故选C13.【答案】【解析】解：根据条件，由得：；故答案为：可对两边平方，然后进行数量积的运算，便可得出，这样由向量为单位向量即可求出的值考查单位向量的概念，以及数量积的运算及计算公式14.【答案】【解析】解：是与的等比中项，解得故答案为：由是与的等比中项，可得，解出即可得出本题考查了等差数列与等比数列的相同公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15.【答案】18【解析】解：如图所示，截面为等腰梯形BDPQ，故截面的面积为故答案为：18如图所示，截面为等腰梯形BDPQ，即可求出平面截该正方体所得截面的面积本题考查平面截该正方体所得截面的面积，考查学生的计算能力，确定截面
12、图形是关键16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数的基本关系，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题由已知及正弦定理可求，结合，可求出sinC，利用同角三角函数的基本关系可求出cosC，利用余弦定理即可求出a，b，c的值，进而利用三角形面积公式计算即可【解答】解：由正弦定理及，得，又，为锐角三角形，即，由余弦定理得，故答案为17.【答案】解：直线，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是为参数，消去参数，得曲线的普通方程为把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线，的极坐标方程为，化为直角坐标方程为圆的圆心到直线：的距离：【解析】由直线的直角坐标方程能求出直线的极坐标方程，曲线的
13、参数方程消去参数，能求出曲线的普通方程把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为求出圆的圆心到直线：的距离，由此利用勾股定理能求出本题考查直线的极坐标方程的求法，考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题18.【答案】解：由正弦定理可得：，又，可得，又，的面积为，解得：，由可得：，【解析】利用正弦定理化简已知可得，结合，可得，由余弦定理可求cosB，结合范围，即可得解B的值利用已知及三角形面积公式可求c的值，结合即可求得b，a的值本题主
14、要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.【答案】解：设等差数列的公差为，成等差数列，则，解得：，则，数列为等差数列，；由，设数列的前n项和为，则【解析】设等差数列的公差为，由数列也为等差数列可得，由此求出等差数列的公差，验证数列也为等差数列，则等差数列的通项公式可求；把中求得的通项公式与前n项和公式代入，利用裂项相消法求得数列的前n项和本题考查数列的求和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题20.【答案】解：根据表中数据，计算全班选做题的平均分为由表中数据计算观测值：，所以，据此统计有的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选
15、讲与性别有关学习委员甲被抽取的概率为，设不等式选讲中6名男同学编号为乙，1，2，3，4，5；从中随机抽取2人，共有15种抽法：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，1与2，1与3，1与4，1与5，2与3，2与4，2与5，3与4，3与5，4与5，数学科代表乙被抽取的有5种：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，数学科代表乙被抽取的概率为，甲乙两人均被选中的概率为【解析】根据表中数据，计算全班选做题的平均分即可；由表中数据计算观测值，对照临界值表得出结论；计算学习委员甲被抽取的概率和数学科代表乙被抽取的概率，从而得出甲乙两人均被选中的概率本题考查了对立性检验和列举法计算古典概型的概率问题，是基
16、础题目21.【答案】解：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG 点G为CF中点，为的中位线，面BDG，面BDG，面BDG，连接FM，G为CF的中点，ABCD为矩形，又，为平行四边形，为正三角形，面BGM，面BFC，面面BFC ， ，三棱锥的体积【解析】首先，连接AC交BD于O点，得到OG为的中位线，从而得到，命题得证；先连接FM，证明，然后，证明为正三角形，从而得到面BGM，从而命题得证；转化成三棱锥和三棱锥的体积之和，它们的体积之和就是以FC为高，以BMG为底的三棱锥的体积，从而得到结果本题重点考查了面面垂直、线面平行、空间几何体的体积等知识，本题属于中档题22.【答案】解：设切点的坐标为，由求导得，切线方程为，即，由已知和为同一条直线，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，当且仅当时等号成立，由于，令，令，在单调递增，且，在上存在唯一零点，设此零点为，且，当时，当时，由，又，的最大值为2【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题设出切点坐标，根据函数的单调性求出k的值即可；由，问题转化为，令，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m的最大值即可
