1、第六章综合能力测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1在等腰梯形中，为的中点，则（ ）ABCD【解析】依题意得，所以，所以.故选A.【答案】A2已知向量，若，则（ ）ABCD【解析】，又，。故选：D.【答案】D3已知向量的夹角为，且，则( )ABC2D【解析】向量的夹角为，且，又，故选B.【答案】B4已知向量，满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）ABCD【解析】由题意可知：，解得：，故选。【答案】D5如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30，与O相距15海里的C处现甲船以35海里
2、/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为() A.小时 B1小时 C. 小时 D2小时【解析】在OBC中，由余弦定理，得CB2CO2OB22COOBcos 1201522521525352，因此CB35，1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时【答案】B6如图所示，在ABC中，若，则的值为()A. B. C. D. 【解析】， ()，又，.【答案】B7我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在数书九章（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实
3、；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，求三角形面积，即. 若的面积，则等于（ ）ABC或D或【解析】已知，代入，得，即 ，解得，当时，由余弦弦定理得： ，.当时，由余弦弦定理得： ， .故选：C【答案】C8正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ）ABCD【解析】建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，则，由，即，得.所以=，所以当时，的最小值为.故选：C.【答案】C二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符号题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知向量，则
4、下列说法正确的是（）A若，则或B若，则C的最小值为6D若与的夹角为锐角，则【解析】因为向量，由，所以，解得或，故A正确；当时，由于，即，故B正确；由于，所以，当时，的最小值为6，故C正确；若与的夹角为锐角，则且不同向，即，解得且，故D不正确；故选：ABC.【答案】ABC10在中，角，对应的边分别为，已知，则边长的值为（）ABCD【解析】在中，由余弦定理得，解得或，故选：AB.【答案】AB11在中，下列命题正确的是（）ABC点O为的内一点，且，则为等腰三角形D，则为锐角三角形【解析】A.由向量的减法法则可知：，故错误；B.由向量加法的三角形法则可得：，故正确；C.因为，即；又因为，所以，即，所以
5、是等腰三角形，故正确；D.若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，错误.故选：BC【答案】BC12正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（）ABCD【解析】在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且在A中，故A正确； 在B中，故B错误；在C中，故C正确；在D中，若，则，不合题意，故D错误故选：AC.【答案】AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13已知的外接圆圆心为O且，则_，向量在向量上的投影向量的模长为_【解析】由，所以点共线，因为的外接圆圆心为O所以是圆O的直径
6、，故，因为，所以，向量在向量上的投影向量的模长为：.【答案】 .14已知|a|2，|b|，a与b的夹角为，要使ba与a垂直，则为_. 【解析】由ba与a垂直，得(ba)a0，即aba24，ab.又|a|2，|b|，a，b，cosa，b，即，2.【答案】215在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则_.【解析】由余弦定理和，可得，得，由，由正弦定理，得.【答案】916已知向量满足，点在内，且，设，若，则-。【解析】由得，建立如图所示的直角坐标系，不妨设， 由得， 。【答案】四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知，分别确定实数的取值
7、范围，使得：(1)若与的夹角为直角，求实数的值(2)请在与的夹角为钝角，与的夹角为锐角，这两个条件中任选一个求实数的取值范围.【解析】(1)设与的夹角为，则因为与的夹角为直角，所以，所以，所以，所以(2)若选，因为与的夹角为钝角，所以且，所以且与不反向由得，故，由与共线得，故与不可能反向所以的取值范围为若选因为与的夹角为锐角，所以，且，所以且与不同向由，得，由与同向得所以的取值范围为且18（12分）已知向量.(1)求向量的夹角；(2)求的值.【解析】 (1)由题意，向量，可得，解得，则，因为，所以，即向量的夹角.(2)由（1）知，因为，则.19(12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，
8、C所对的边，(1)求A；(2)若，求ABC面积的最大值【解析】 (1)由正定理可得sinA，因为，所以，又，；(2)，由余弦定理，可得，得，即ABC面积的最大值为20(12分)如图所示，若D是ABC内的一点，且AB2AC2DB2DC2，求证：ADBC. 【证明】设a，b，e，c，d，则aec，bed，a2b2(ec)2(ed)2c22ec2edd2，AB2AC2DB2DC2，a2b2c2d2，2ec2ed0即e(cd)0，dc，e(dc)0.因此，即ADBC.21(12分)已知的三个内角所对的边分别为，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值【解析】由题意得，,由二倍角的余弦公式可得, , 又因为，所以，解得或，. 在中,由余弦定理得,即 又因为,把代入整理得，解得，所以为等边三角形， ,即.22(12分)已知向量，且；(1)求及；(2)当为何值时，函数取得最大值，并求出最大值.【解析】 (1)；，所以；(2)由（1）知，所以，即.当，即，时，取得最大值为所以当时，函数取得最大值为.
