1、海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科） 2018.11 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合，若，则的取值范围为 A. B. C. D. 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是 A. B. C. D.3. A. B. 0 C. 1 D.4.在等差数列中，,，则公差的值为A. B. C. D. 5.角的终边经过点，且，则A. B. C. D. 6.已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调
2、递增”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.已知向量满足，且，则、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的8.函数，.若存在，使得，则的最大值为A. 5 B. 63 C.7 D.8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 计算10. 已知向量，则向量，夹角的大小为_. 11. 已知等比数列的前项和为，下表给出了的部分数据： 则数列的公比 ，首项 。12.函数在区间上的最大值为2，则 13.能说明“若对任意的都成立，则在上的最小值大于在上的最大值”为假命题的一对函数可以是 ， 。14.已知函数（1）若函数的最大值为1，则 ；（
3、2）若函数的图像与直线只有一个公共点，则的取值范围为 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分13分） 设是等比数列 ，为其前项的和 ，且, . （）求的通项公式；（）若，求的最小值. 16.（本小题满分13分）已知函数.（）求的值；（）求函数 在上的单调递增区间. 17. （本小题满分13分）已知函数. （）当时，求函数的单调区间；（）求证：直线是曲线的切线；（）写出的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值）18. （本小题满分13分）中， ，.（）若，求的值；（）若，求的面积。19.（本小题满分14分）已知函数（）求函数的极值；（
4、）求证：存在，使得的切线；20.（本小题满分14分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令（）若，请写出的值；（）求证:“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件； （）若 ，求证:存在，使得，有海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数学 （理科） 2018.11说明：这份只是参考答案，不是评分标准，评分标准等试卷讲评之后下发.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.2 10. 11. 12.-1或2 13.， 14.三、解答题：本大题共6小题，共80分.
5、15.解：（）设的公比为q 因为 又，所以 所以 所以（）因为所以，即，即显然n为奇数时，不等式不成立，当n为偶数时，即，解得所以n的最小值为8.16.解：（）（）因为，所以，即函数的定义域为 = = =令解得令，得到，因为所以在区间上单调递增区间为17.解：（）函数的定义域为， 当时，所以令，得当x变化时，的变化情况如下表：x-1+0-0+极大值极小值所以函数的单调递增区间为单调递减区间为（）法一：因为令，解得因为，直线不经过而，所以曲线在点处的切线为化简得到所以无论a为何值，直线都是曲线在点处的切线（）取a的值为-2.这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.18.解：（）在中，因为，且
6、，所以根据正弦定理代入，解得.（）法一：在中，因为，所以当时，根据余弦定理且，得到，所以所以，解得或所以的面积当时，根据余弦定理又，得此时方程组无解综上，的面积.法二：在中，因为根据余弦定理，得到因为，所以根据余弦定理和，得道所以的面积19.解：（）函数 的定义域为且.令，得到，当时，x，的变化情况如下表：x-0-极小值所以函数在处取得极小值当时，当x变化时，的变化情况如下表：x+0-极小值所以函数在处取得极大值（）当时，结论成立当时，由（）知道，由（）可知，的最小值是，“存在，使得”等价于“”而设，则当时，单调递增，当时，单调递减所以的最大值为，所以，结论成立.20.解：（）因为，所以，所以
7、，（）（必要性）当数列是等差数列时，设其公差为d当时，所以，所以，当，所以，所以，当是，所以，所以，综上，总有所以 ，所以数列是等差数列（充分性）当数列是等差数列时，设其公差为因为，根据，的定义，有以下结论：，且两个不等式中至少有个取等号当，则必有，所以，所以是一个单调递增数列，所以，所以所以，即为等差数列当时，则必有，所以所以是一个单调递减数列，所以，所以所以，即为等差数列当，因为，中必有一个为0，根据上式，一个为0，则另一个亦为0，所以，所以为常数数列，所以为等差数列综上，结论得证.（）假设结论不成立.因为，即或者，所以对任意，一定存在，使得，符号相反所以在数列中存在，其中且， 因为，即，注意，且有且仅有一个等号成立，所以必有，所以，所以因为，所以，所以所以所以所以所以所以所以，这与矛盾，所以假设错误，所以存在，使得，有.
