1、第六章 小结认知结构学考连线考点1求平面向量的数量积求平面向量数量积的方法给出向量a，b，求ab的三种方法：(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算法则求得【例1】1.(2021北京新高考T13)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)c=;ab=.【解析】a=(2,1),b=(
2、2,-1),c=(0,1),所以(a+b)c=0,ab=3.【答案 】0 32.(2021新高考II卷T15)已知向量a+b+c=0,|a|=1,| b|=|c|=2,则ab+bc+ca=【解析】由已知可得(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ca)=9+2(ab+bc+ca)=0,因此ab+bc+ca=-.【答案 】-3（2020全国理6）已知向量满足，则（ ）A B C D【解析】，因此故选D【答案】D 4（2020山东7）已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】解法一：的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范
3、围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A解法二：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，设，则，的取值范围是【答案】A考点2平面向量的夹角与模的计算求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关系；第三步，根据公式cosa，b(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围为0，及其余弦值，求出这两个向量的夹角求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量
4、积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解【例2】1.(2021全国甲卷T13)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,ab=1,则|b|=.【解析】因为|a|=3,|a-b|=5,ab=1,所以52=|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=32-21+b2.所以b2=18,即|b|=3.【答案】32（2020全国理6）已知向量满足，则（ ）A B C D【解析】，因此故选D【答案】D3.(2019全国卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A. B.2 C.5 D.50【解析】由向量
5、a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|=.【答案】A4.(2019全国卷)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为( )A. B. C. D. 【解析】设夹角为,因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以cos =,又0,所以a与b的夹角为,故选B.【答案】B【领悟】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的模,再利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,最后求出夹角,注意向量夹角范围为0,.考点3 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由ABC及，可先求出角C
6、及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况【例3】1. (2021全国甲卷T8)在ABC中,已知B=120,AC=,AB=2,则BC=()A.1 B. C. D.3【解析】设BC=x,在ABC中,由余弦定理知:19=22+x2-22xcos120,解上式得:x=3.【答案】D2.(2021全国乙卷文科T15)记ABC的内
7、角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60,a2+c2=3ac,则b=.【解析】SABC=acsin B=ac=,所以ac=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-ac=3ac-ac=2ac=8,所以b=2.【答案】23（2020全国文18）的内角的对边分别为已知（1）若，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求【解析】（1）由余弦定理可得，的面积（2），4（2020全国理17）中，（1）求；（2）若，求周长的最大值【解析】（1）由正弦定理可得：，（2）由余弦定理得：，即（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为5（2020山东17）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】选择条件的解析：由可得：，不妨设，则：，即据此可得：，此时选择条件的解析：由可得：，不妨设，则：，即据此可得：，则：，此时：，则：选择条件的解析：由可得：，不妨设，则：，即据此可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在
