1、云南省玉溪一中 2020-2021 学年高二数学上学期第一次月考试题 文（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合21Axx，230Bx xx，则 AB（）A.(0,1)B.2,3 C.0,1 D.1,3 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合 B，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为 23003Bx xxxx，21Axx，所以01ABxx.故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.2.已知向量2,4a r，,1bm，若a 与 2ab共线，则实数
2、m 的值为（）A.14 B.1 C.12 D.2 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的坐标运行与共线定理，列方程求出m 的值.【详解】由2,4a r，,1bm，则24,7abmrr，又因 a 与 2ab共线，则2 7440m ，解得12m .故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，属于基础题 3.已知tan6a，7cos 4b，5sin 4c，则a，b，c 的大小关系是（）A.bac B.abc C.bca D.acb【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求出,a b c 的值即可.【详解】因为3tantan663a ，72coscos 2cos4442b 52sinsi
3、nsin4442c 所以bac 故选：A【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.4.设l，m 是两条不同的直线，是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l m的是 A.l ，m ，B.l ，m ，C.l ，m ，D.l ，m ，【答案】B【解析】由 A，C，D 可推出l 与 m 平行、相交或异面，由 B 可推出l m.故选 B 5.函数ln()sinxf xxx的部分图象大致是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解.【详解】因为ln|0,()sin()()xxfxxf xx,ln()sinxf xxx奇函数
4、，图象关于原点对称，所以排除选项 D；因为2ln 2()102f，所以排除选项 A；因ln()00f，所以排除选项 B；因此选项 C 正确.故选：C.【点睛】本题考查函数图象识别问题.其解题思路：由解析式确定函数图象：由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 函数图象识别有时常用特值法验证排除 6.已知 43m，直线:l yxm，圆22:2C xy，则直线l 与C 相交的概率为（）A.12 B.23 C.47 D.27 【答案】C【解析】【分析】直线方程与圆方程
5、联立方程组消元后用 得 m 的取值范围，然后由几何概型概率公式计算概率【详解】联立22,2,yxmxy，整理得222220 xmxm 令，解得 22m，故所求概率224347P 故选：C【点睛】本题考查几何概型，属于基础题几何概型问题要弄清楚是长度型、面积型还是体积型，然后求出相应的度量，计算概率 7.如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则 AF A.3144ABAD B.1344ABAD C.12 ABAD D.3142ABAD【答案】D【解析】【分析】由平面向量基本定理和向量运算求解即可【详解】根据题意得：1()2AFACAE，又 ACABAD，1
6、2AEAB，所 以1131()2242AFABADABABAD.故选 D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.8.已知角 的终边过点2,8Pm，且3cos5，则 tan 的值为（）A.34 B.43 C.43 D.43【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义可得出关于m 的方程，解出m 的值，再利用三角函数的定义可求得tan的值.【详解】由题得223cos5464mm，解得3m ，所以点 6,8P，所以84tan63 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 9.ABC 的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
7、且满足 coscosabBA，则 ABC 的形状是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利 用 正 弦 定 理s i ns i ns i ns i nabaAABbB，再 结 合 已 知 coscosabBA可 求 得s i nc o ss i nc o sABBA，从而可得sin 2sin 2AB，可判断 ABC 的形状.【详解】解：ABC 中，由正弦定理得：sinsinabAB，sinsinaAbB，又 coscosabBA，sincossincosABBA，sin 2sin 2AB，AB或22AB，即 AB或2AB，AB
8、C 为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形状 10.已知 tan，tan 是方程23 340 xx的两根，且，,02，则（）A.3 B.23 C.23 D.3 或23【答案】C【解析】【分析】根据韦达定理，得到 tantan3 3tantan4，再由两角和的正切公式，结合角的范围，即可得出结果.【详解】因为 tan，tan 是方程23 340 xx的两根，所以 tantan3 3tantan4，则tantan3 3tan31 tantan1 4，又，,02，所以0，因此23.故选：C.【点睛】本题主要
9、考查两角和的正切公式，属于基础题型.11.已知函数()3sincos(0)f xxx的图象与 x 轴相邻交点的横坐标相差 2，把函数()f x 的图象沿 x 轴向左平移 6 个单位，得到函数()g x 的图象.关于函数()g x，下列说法正确的是（）A.在,4 2 上是增函数 B.其图象关于直线4x 对称 C.函数()g x 是奇函数 D.当2,6 3x 时，函数()g x 的值域是2,1【答案】D【解析】【分析】由已知可求出函数()f x 的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数()yg x的解析式，根据余弦函数的性质分析出函数的奇偶性、单调性、对称性以及函数的值域【详解】函数()3
10、sincos2sin()6f xxxx 又函数()f x 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 22T，故函数的最小正周期T，又0，2 故()2sin(2)6f xx 将函数()yf x的图象向左平移 6 个单位可得：()2sin2()2cos266yg xxx；函数()g x 是偶函数，C 错；令 222kxk 剟，即2kx k剟，kZ 故函数()yg x的增区间为2k，k，kZ 在,4 2 上不是增函数，A 错；4x 时，()2cos042g，不是最值，4x 不是对称轴，B 错；由2,6 3x 可得，2,343x，故1cos21,2cos22,12xx ，D 正确，故选：D 【点睛】本
11、题主要考查函数sin()yAx的周期性、三角函数图象的平移变换法则，两角和与差的正弦函数、诱导公式，余弦函数的奇偶性、单调性、对称性与值域，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键 12.已知函数 10log0axxf xx x ，函数 g x 是偶函数，且 2g xg x，当0,1x时，21xg x ，若函数 yf xg x恰好有6 个零点，则a 的取值范围是（）A.5,B.5,6 C.4,6 D.5,7 【答案】D【解析】【分析】作出函数 yg x与函数 yfx的图象，可知两函数在区间,0上有且只有一个交点，则两函数在0,上有5 个交点，结合图象得出 5171ff，可得出关于
12、实数 a 的不等式组，解出即可.【详解】如下图所示，当0 x 时，函数 1f xx 与 yg x有 1 个交点，故0 x 时 logaf xx与 yg x有且仅有5 个交点，必有1a 且 51log 515771log 71aafaf.因此，实数 a 的取值范围是5,7.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.函数 34log11xf xxx的定义域是_【答案】1,11,4【解析】【分析】求出使解析式有意义自变量 x
13、的范围即可【详解】由题意401010 xxx ，解得 11x 或14x 故答案为：1,11,4【点睛】本题考查求函数的定义域，求出使函数式有意义的自变量的取值范围即得，掌握对数函数性质是解题关键 14.ABC 为等腰直角三角形，且2A，4AB，若点 E 为 BC 的中点，则AE AB_.【答案】8【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质可推出2 2AE，4BAE；而|cosAE ABAEABBAE，代入所得数据进行运算即可得解【详解】因为 ABC 为等腰直角三角形，且2A，4AB，所以24 2BCAB，点 E 为 BC 的中点，12 22AEBC，且124BAEA|cos2 24 cos84AE
14、 ABAEABBAE 故答案为：8【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题 15.已知442cossin3，且0,2，则cos 23_.【答案】2156【解析】【分析】由平方差公式及同角三角函数的平方关系可得222cossincos23，求出sin 2，利用两角和的余弦公式展开cos 23并求值.【详解】4422222cossinsincoscossincos23，又0,2，则20,，25sin 21 cos 23，13cos 2cos2sin 2322123521523236.故答案为：2156【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角和与差的余弦公式、二倍角公
15、式，属于基础题.16.已知在三棱锥 PABC中，4PA，2ABAC，2 2BC，PA 面 ABC，那么三棱锥 PABC外接球的表面积为_【答案】24 【解析】【分析】由已知易得，AP，AB，AC 两两垂直，从而三棱锥外接球即是以 AP，AC，AB 为棱的长方体的外接球直径，然后算出答案即可【详解】因为2ABAC，2 2BC，所以222ABACBC，即 ABAC，因为 PA 平面 ABC，易得，AP，AB，AC 两两垂直，故三棱锥外接球即是以 AP，AC，AB 为棱的长方体的外接球，244 162 6R ，该三棱锥外接球的表面积2424SR 故选：B【点睛】本题主要考查了棱锥外接球的半径的求解，
16、解题的关键是根据已知关系构造长方体 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.化简：（1）3sincostan()22tan()sin()；（2）cos21tantan.【答案】（1）cos；（2）1 sin 22.【解析】【分析】（1）根据诱导公式，直接化简，即可得出结果；（2）根据同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，直接化简，即可得出结果.【详解】（1）原式cossin(tan)costan(sin)；（2）原式22cos2cos2cos21 sin 2cossincos2cossin21sincossincossin 22.【点睛】本题主要考查三角恒等变换
17、化简，熟记同角三角函数基本关系，诱导公式，以及二倍角公式即可，属于常考题型.18.已知(sin,2cos)axx，(2sin,sin)bxx，()f xa b（1）并求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若(0,)2x，求()f x 的值域.【答案】（1）；3)88kkkZ，(；（2）02+1，.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐表运算将()f x 表示出来，利用辅助角公式整理成“一角一函数”，利用正弦函数的性质求出()f x 的单调区间.（2）由(0,)2x，求出24x的范围，由正弦函数图象求出值域.【详解】（1）2()2sin2sin cosf xxxx1cos2sin2xx
18、 2 sin(2)14x()f x的最小正周期为.由 222242kxk得388kxk，(kZ)所以()f x 的单调增区间为3)88kkkZ，(，（2）由（1）得2 sin(4)1(2)xf x，(0,)2x，32444x.2sin(2)124x，()f x 的值域为02+1，.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，辅助角公式，三角函数的单调性与周期、值域，属于基础题.19.2020 年春季延期开学期间，为保证防控疫情期间中小学校“停课不停学”各地教育行政部门、中小学及教育网站积极提供免费线上课程，为中小学生如期学习提供了便利条件某教育网站针对高中学生的线上课程播出后，社会各界反响强烈
19、该网站为了解高中学生对他们的线上课程的满意程度，从收看该课程的高中学生中随机抽取了 1000 名学生对该线上课程进行评分（满分 100 分），并把相关的统计结果记录如表：评分分组 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频数 100 200 400 250 50（1）计算这 1000 名学生评分平均数，根据样本估计总体的思想，若平均数低于 70 分，视为不满意，试判断高中学生对该线上课程是否满意？（2）为了解部分学生评分偏低的原因，该网站利用分层抽样的方法从评分为50，60），60，70）的高中学生中抽取 6 人，再从中随机抽取 2 名学生进行详细调查，求这 2 名学生的
20、评分来自不同评分分组的概率【答案】（1）74.5，满意；（2）815.【解析】【分析】（1）由频率分布表得到各组中间值分别为 55、65、75、85、95，然后利用平均数公式求解，再与 70 比较下结论.（2）这是一个古典概型，根据题意，从评分为50，60）的学生中抽取了 2 人，从评分为60，70）的学生中抽取了 4 人，然后列举出所有基本事件总数，再找出两人来自同一组的基本事件，代入公式求解，进而再利用对立事件的概率求解.【详解】（1）各组中间值分别为 55、65、75、85、95，故平均数为 550.1+650.2+750.4+850.25+950.0574.5，74.570，高中学生对
21、该线上课程是满意的（2）由题意知，从评分为50，60）的学生中抽取了 2 人，分别记为 x，y，从评分为60，70）的学生中抽取了 4 人，分别记为 a，b，c，d，则所有可能的结果有：（x，y），（x，a），（x，b），（x，c），（x，d），（y，a），（y，b），（y，c），（y，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共 15 个 记两人来自同一组为事件 A，则事件 A 包括的可能结果有：（x，y），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共 7 个，故这 2 名学生的评分来自不同评分分组的概率为781 1515P
22、【点睛】本题主要考查频率分布表的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，四棱锥 PABCD的底面是边长为 2 的菱形，PD 平面 ABCD.（1）证明：ACPB；（2）若2PD，直线 PB 与平面 ABCD 所成角为45，求四棱锥 PABCD的体积【答案】（1）证明见解析；（2）4 33.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出 AC平面 PBD，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）由PBD=45，求出棱锥高 PD=2，再利用棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD，又因为 PD平面 ABCD，AC 平面
23、 ABCD，所以 PDAC，又 PDBDD，故 AC平面 PBD，又因为 PB 平面 PBD，所以 ACPB.（2）因为 PD平面 ABCD，所以PBD 是直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，于是PBD=45，因此 BD=PD=2，又 AB=AD=2，所以菱形 ABCD 的面积为12232 32S ，故四棱锥 P-ABCD 的体积14 333VS PD.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、棱锥的体积公式，考查了逻辑推理能力以及计算求解能力，属于基础题.21.已知函数 223mmf xxmZ为偶函数，且 35ff（1）求m 的值，并确定 fx 的解析式；（2）若 log
24、2ag xf xx(0a 且1a)，求 g x 在2,3 上值域【答案】（1）1m ，2f xx；（2）当1a 时，函数 g x 的值域为,log 3a，当01a时，g x 的值域为log 3,a.【解析】试题分析：（1）因为 35ff，所以由幂函数的性质得，2230mm，解得312m，因为mZ，所以0m 或1m ，验证后可知1m ，2f xx；（2）由（1）知 2log2ag xxx，函数22yxx在2,3 上单调递增，故按1a，01a 两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.试题解析：（1）因为 35ff，所以由幂函数的性质得，2230mm，解得312m，因为mZ，所以0m 或1m ，当0
25、m 时，3f xx它不是偶函数；当1m 时，2f xx是偶函数；所以1m ，2f xx；（2）由（1）知 2log2ag xxx，设22,2,3txx x，则0,3t，此时 g x 在2,3 上的值域，就是函数log,0,3ayt t的值域；当1a 时，logayt在区间0 3,上是增函数，所以,log 3ay；当01a 时，logayt在区间0 3,上是减函数，所以log 3,ay；所以当1a 时，函数 g x 的值域为,log 3a，当01a 时，g x 的值域为log 3,a 考点：幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意
26、35ff，可以判断函数在0,上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出m 可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.22.已知圆C 经过点(3,3)A，(2,4)B，且直线:210nxy 平分圆C （1）求圆C 的方程；（2）若过点(2,0)D，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点 M，N，若13OM ON，求k 的值【答案】（1）22(2)(3)1xy；（2）635.【解析】【分析】（1）由已知求出 AB 的中垂线方程，再由圆C 经过 A、B 两点，可得圆心在线段 AB
27、的中垂线上联立两直线方程求得圆心坐标，则圆的方程可求；（2）令1mk，则直线方程可写成：2xmy联立直线方程与圆的方程，化为关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量的数量积运算求解m 的值，可得k 值【详解】（1）线段 AB 的中点5 7(,)2 2E，43123ABk，故线段 AB 的中垂线方程为7522yx，即10 xy 圆C 经过 A、B 两点，故圆心在线段 AB 的中垂线上 又直线:210nxy 平分圆C，直线n 经过圆心 联立10210 xyxy ，解得圆心的坐标为(2,3)C，而圆的半径|1rCB，圆C 的方程为：22(2)(3)1xy （2）设直线:2l xmy，点11(,)M x y，22(,)N x y 联立222(2)(3)1xmyxy，得2(1)680myy 236 32(1)0m，得218m 则12261yym，12281y ym 212121212212(1)2()412131mOM ONx xy ymy ym yym 解得635m （舍），或635m 所以1635km【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，同时考查了平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，是中档题
