1、6.2.4向量的数量积学习目标核心素养1.理解平面向量的数量积的定义数学抽象2.了解投影向量的概念 直观想象3.掌握向量数量积的性质及其运算律，并会应用.逻辑推理导学 课前自主学习 知识梳理知识点1向量的数量积已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义数量|a|b|cos_叫做a与b的数量积(或内积)记法ab|a|b|cos_规定零向量与任一向量的数量积为0【名师点睛】两个向量的数量积与实数的乘法两个向量的数量积是两向量之间的一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点：（1）两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定
2、.（2）两个向量的数量积称为内积，应写成，不能写成（两向量的外积），它与代数中数a、 b的乘积ab(或ab)是不同的.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，当时，由=0不能推出一定是零向量.因为其中cos有可能为0，即任一与垂直的非零向量，都有=0.（4）已知实数a、b、c（b0），则ab=bca=c；但对于向量，该推理就是不正确的，即= =. 知识点2投影向量在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则与e，a，之间的关系为|a|cos e.知识点3向量数量积的性质
3、垂直向量ab0平行向量同向ab|a|b|反向ab|a|b|向量的模aa|a|2或|a|求夹角cos 不等关系ab|a|b|【名师点睛】 平面向量数量积性质的证明 （1）cos，cos，cos，cos，cos，；（2）若已知，若、中至少有一个为零向量，则符合条件，0；若，由已知，0.因此， 0；0；若已知0，若、中至少有一个为零向量，满足0，根据定义知；若，则0，即cos，0，又因为，.因此，0；综上所述，0，且0；（3）cos，2 cos02，且；（4），当，时，cos，；（5）. 知识点4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacb
4、c(分配律)【名师点睛】对运算律师的几点说明数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即()不一定等于().这是由于()表示一个与共线的向量，而()表示一个与共线的向量，只要与不共线，()与()就不相等.【思考交流】数量积ab与实数乘法ab的区别是什么？【提示】在实数中，若a0，且ab0，则b0，但在数量积中，若a0且ab0，不一定能推出b0，这是因为|b|cos有可能为0，即ab.在实数中|ab|a|b|，但在向量中|ab|a|b|自主测评1.判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)设非零向量a与b的夹角为，则cos 0ab0.()(2)|ab|ab.()(
5、3)(ab)2a2b2.()【解析】 (1).由数量积的定义可知(2).|ab|ab，(3).(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2.【答案】(1)(2)(3)2已知向量a，b满足|a|2，|b|，且a与b的夹角为60，那么ab等于_【解析】ab|a|b|cos 602.【答案】3.已知|=4，为单位向量，它们的夹角为，则在方向上的投影向量是_.【解析】在方向上的投影是|cos=4（）=2.【答案】2 4.已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3C2 D0【解析】因为|a|1，ab1，所以a(2ab)2|a|2ab212(1)3，故选B.【答案】B探究 课堂
6、互动研讨 考点1向量的数量积及其计算【方法点拨】求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角，0，；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.【例1】(1)给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_(2)已知向量a与b满足|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120.求：(ab)(ab)；(2ab)(ab). 【思路点拨】根据数量积的定义、性质、运算律解答【解析】(1)因为两个非零向量a，b垂直时，ab0
7、，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确【答案】(2)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因为|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120，所以ab103cos 12015，所以(2ab)(ab)2a2abb2200159206.【变式训练1】在ABC中，A60，AB3，AC2.若2， (R)，且4，则的值为_【解析】设a，b，由已知得|a|3，|b|2，ab|a|b|cos 603，因为2，所以2()，所以ab，所以(ab)(b
8、a)(-)aba2b2(2)944，解得.【答案】考点2 与向量模有关的问题【方法总结】求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方.(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.,(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等.【例2】已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，求|b|. 【思路点拨】灵活应用a2|a|2求向量的模【解析】因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45且|a
9、|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3 (舍去)【变式训练2】已知向量a、b满足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|.【解析】由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216.(*)|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入(*)式得42ab916，即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910，|ab|.考点3 与向量垂直、夹角有关的问题【方法点拨】1.求向量夹角的方法：(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos 求解(2)用同一个量表示ab，|a|，|b|代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形
10、结合求夹角2要注意夹角的范围0，当cos 0时，；当cos 0时，当cos 0时，. 【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角.【思路点拨】(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角【解析】(1)e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.当k1时，e1ke2k
11、e1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.【答案】(0,1)(1，)(2)由已知条件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，.【互动探究】将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变，如何求k的取值范围？【解析】e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.当k1时e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0且k1.素养提升数量积的开放探究题【典例】已知a，b是非零向量，t为实数，设uatb.(1)当|u|取最小值时
12、，求实数t的值；(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？【规范解答】(1)|u|2|atb|2(atb)(atb)|b|2t22(ab)t|a|2|b|2|a|2.b是非零向量，|b|0，当t时，|u|atb|的值最小(2)b(atb)abt|b|2ababab0，b(atb)，即bu.【名师点评】(1)通过向量的模长公式建立函数关系,利用二次函数的性质求解;(2)利用两向量垂直的充要条件进行判断.反馈 课末达标练习 1设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a3e12e2，b3e14e2，则ab等于()A2 B1 C1 D2【解析】因为|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)
13、(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.故选B.【答案】B2在三角形中，则（ ）A B C D【解析】，【答案】A3若ab0，则a与b的夹角的取值范围是_【解析】因为ab|a|b|cos 0，所以cos 0，又0，所以.【答案】4已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|. 【解析】ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5课时评价作业(一)【基础巩固】1若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为60，则aaab等于() A B C1 D2【解析】aaab|a|2|a|b|cos 601.【答案】B2若向量a，b，c，满足ab且ac，则c
14、(a2b)()A4 B3 C2 D0【解析】ab，ac，bc，ac0，bc0，c(a2b)ac2bc000.【答案】D3若非零向量a与b的夹角为，|b|4，(a2b)(ab)32，则向量a的模为()A2 B4 C6 D12【解析】由已知得，a2ab2b232，|a|2|a|4cos24232.解得|a|2或|a|0(舍)【答案】A4若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_【解析】设a与b夹角为，因为|a|3|b|，所以|a|29|b|2.又|a|a2b|，所以|a|2|a|24|b|24ab|a|24|b|24|a|b|cos 13|b|212|b|2cos ，即9
15、|b|213|b|212|b|2cos ，故有cos .【答案】5如图所示，在平行四边形ABCD中，|4，|3，DAB60.求：(1) ；(2) ；(3) .【解析】(1) |29；(2) |216；(3) |cos(18060)43(-)6.6已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab).(1)求|b|.(2)当ab时，求向量a与a2b的夹角的值. 【解析】(1)因为(ab)(ab)，即a2b2，即|a|2|b|2，所以|b|2|a|21，故|b|.(2)因为|a2b|2|a|24ab|2b|21111，故|a2b|1.又因为a(a2b)|a|22ab1，所以cos ，又0，故.【能力
16、提升】1.下列七个命题： =；0=0；=；|=|；若，则对任一非零向量有0； =0，则与中至少有一个为；与是两个单位向量，则22. 其中正确命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】对于：两个向量的数量积是一个实数，应有=0；对于：应有0=；对于：由数量积定义，有|=|cos|，这里是与的夹角，只有=0或=时，才有|=|；对于：若非零向量、垂直，有=0；对于：由=0可知，即可以都非零.中由向量数量积的性质可得22221. 综上，上述7个命题中只有正确.【答案】B2如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是()A. B. C. D. 【解析】由于
17、，故其数量积是0；与的夹角是，故其数量积小于0；设正六边形的边长是a，则|cos 30a2，|cos 60a2.故选A.【答案】A3如图，在ABC中，ADAB，|1，则等于()A2 B C D【解析】|cosDAC|cos()|sinBAC|sin B|sin B|.【答案】D4已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则|2ab|_. 【解析】设向量b和a的夹角是，因为|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)aa2ab2ab22cos 0，所以cos ，所以(|2ab|)24a2b24ab84424，故|2ab|2.【答案】25设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给
18、出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不与c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是_. 【解析】根据向量积的分配律知正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以(bc)a(ca)b与c垂直，错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形三边，所以|a|b|ab|成立，正确；正确故正确命题的序号是.【答案】6知，且向量与不共线（1）若与的夹角为，求；（2）若向量与互相垂直，求的值【解析】（1）因为，与的夹角为，所以，所以.（2）因为，所以，即，则，解得7已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角【解析】根据|a|b|，有|a|2|b|2，又由|b|ab|，得|b|2|a|22ab|b|2，ab|a|2.而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.设a与ab的夹角为.则cos .30.
