1、解密23 坐标系与参数方程考点热度 内容索引核心考点1 两种互化及其应用 核心考点2 利用参数几何意义解题核心考点3 用的几何意义解题 高考考点三年高考探源预测直角坐标与极坐标方程的互化2021全国甲卷文、理222020新课标全国 222020新课标全国 222020新课标全国 222019新课标全国 222019新课标全国 22 从近三年高考情况来看，本节内容主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化，参数方程与普通方程的互化，根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点，主要以解答题的形
2、式出现，难度中等。普通方程与参数方程的互化2021全国乙卷文、理222020新课标全国 222020新课标全国 222019新课标全国 222018新课标全国 22坐标系与参数方程的综合2021全国乙卷文、理22核心考点一 两种互化及其应用考法 两种互化及其应用 1、（2022河南高三阶段练习（理）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，m为常数）以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若曲线C与直线l有公共点，求m的取值范围【答案】(1)， (2)【解析】（1）由极坐标与直角坐标的转
3、化公式可求得曲线C的直角坐标方程，直接消去参数，可得直线l的普通方程，（2）由（1）知曲线C是以点（1，1）为圆心，2为半径的圆，所以只要求出圆心到直线的距离小于等于半径，从而可求出m的取值范围(1)由曲线C的极坐标方程得，即曲线C的直角坐标方程为由（t为参数，m为常数）得，即直线l的普通方程为(2)由（1）知曲线C是以点（1，1）为圆心，2为半径的圆，圆C与直线l有公共点，即圆心（1，1）到直线l的距离，即，故，则m的取值范围是2、（2021全国高三阶段练习（文）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1)求直
4、线l和曲线C的普通方程，并说明C表示什么曲线；(2)把曲线C上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线，B为曲线上的动点，M为和B的中点，求M到直线l距离的最小值【答案】(1)；曲线C是圆心在原点、半径为4的圆 (2)【解析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程互化相关知识求解即可；（2）根据题意得到曲线的方程，根据参数方程几何意义求解即可.(1)由（t为参数）消去t，得，所以l的普通方程为因为，故，曲线C的普通方程为，故曲线C是圆心在原点、半径为4的圆.(2)把圆所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得，即曲线为，则曲线的参数方程为（为参数），故设，所以，M
5、到直线的距离，其中，所以当时，d取得最小值，即M到直线l距离的最小值为3、（2021河南模拟预测（文）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1)求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；(2)若是直线1上一点，是曲线C上一点，求OAB的面积.【答案】(1)， (2)2【解析】（1）先消去参数求出直线线l的直角坐标方程，进而利用公式求出直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程；（2）分别代入直线l的极坐标方程及曲线C的极坐标方程，求出，利用三角形面积公式求出OAB的面积.(1)直线l的参数方程为t（其
6、中t为参数）消去参数t得直线l的直角坐标方程为:，由，得直线l的极坐标方程，即；曲线C的极坐标方程为，所以，由，得曲线C的直角坐标方程为：(2)因为在直线l上，在曲线C上，所以，解得：，而，所以OAB的面积技巧点拨1参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:代入消元法;加减消元法;恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.2普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数
7、;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan(x0)4参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.核心考点二 利用参数几何意义解题考法 利用参数几何意义解题1、（2022山西太原高三期末（文）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
8、(1)求曲线的普通方程；(2)已知直线与曲线交于两点，求证：为定值.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】（1）方程两边同乘，直接利用极坐标和直角坐标的转换关系即可求解；（2）将直线的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用一元二次方程根与系数的关系并结合参数的几何意义即可求解.(1)由已知两边同乘得，由得曲线的普通方程为；(2)设交点两点对应的参数分别为，将（为参数）代入得，由韦达定理得， ，故为定值1.2、（2022江西南昌高二期末（文）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和
9、曲线的直角坐标方程；(2)已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.【答案】(1)， (2)2【解析】（1）消参数即可得曲线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系式，从而曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理得，即可得的值.(1)由，消去参数，得，即，所以曲线的普通方程为.由，得，即，所以曲线的直角坐标方程为(2)将代入，整理得，则，令方程的两个根为由韦达定理得，所以.3、（2022河南温县第一高级中学高三阶段练习（文）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l
10、与圆C交于A，B两点(1)求圆C的直角坐标方程及直线l的普通方程(2)已知点，求的值【答案】(1)， (2)【解析】（1）消去参数，即可求得圆C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）以直线的参数方程中的几何意义去解迅速快捷.(1)由得，所以，所以圆C的直角坐标方程为直线l的普通方程为(2)将直线l的参数方程代入圆C：，并整理得，所以，点在直线l上，且点P在圆C的内部，所以技巧点拨若直线过(x0,y0),为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).核心考点三 利用的几何意义解题考法 利用的几何意义解题1、（2019全国高三阶段练习（理）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数），
11、以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.与曲线交于两点.（1）求曲线的普通方程和两点的极坐标；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】(1) 在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,利用极坐标方程与普通方程的转换关系可得出曲线的普通方程,直线和曲线联立求出直角坐标再利用转化公式即可求得的极坐标；(2)利用三角形的面积公式及极坐标的几何意义可知,计算即可求得结果.【详解】（1）将直线的参数方程消参得，曲线，所以，联立直线和圆的直角坐标方程得即或，即，化为极坐标为.（2）.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化,点的坐标的转化,同时也考查了
12、极坐标的几何意义在三角形面积公式中的应用,考查计算能力和转化与划归能力,属于中等题.2、（2020全国高三专题练习（理）在极坐标系中，圆.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线经过点且倾斜角为.求圆的直角坐标方程和直线的参数方程；已知直线与圆交与，满足为的中点，求.【答案】（1），(为参数，).（2）【解析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；将直线的方程代入圆的方程，利用根与系数的关系，求得，由为的中点，得到，求得，即可求得的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆，可得，因为，
13、所以，即，根据直线的参数方程的形式，可得直线:，(为参数，).设对应的参数分别为，将直线的方程代入，整理得，所以，又为的中点，所以，因此，所以，即，因为，所以，从而，即.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.3、（2019黑龙江大庆四中高二阶段练习（理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，是曲线上的动点，点满足（）求点的轨迹方程；（）以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线、交于不同于极点的两点，求.【答案】（）；（）.【解析】（1）设
14、，则由条件知，得到消去参数可得的轨迹方程为 ；（2）根据分别求出曲线，的极坐标方程，将分别这两个方程，求得交点的极径，根据极坐标的几何意义，因此求得.【详解】（I）设，则由条件知.因为点在上，所以（为参数）即（为参数）从而的轨迹方程为 .（）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为射线与的交点的极径为射线与的交点的极径为.所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标的几何意义的应用问题，其中解答中熟记极坐标几何意义的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、（2019四川德阳高三期末（理）在极点为O的极坐标系中，直线上有一动点P，动点M在射线OP上，且满足，记M的轨迹为C（1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；（2）若，均在曲线C上，求的面积【答案】（1），C是除去极点的圆；（2）.【解析】（1）既然是求极坐标方程，因此设，根据已知条件得出它们极坐标的关系，代入已知极坐标方程可得；（2）由曲线的极坐标方程，求出，根据三点的极角求出，从而得，及，然后可得三角形面积【详解】（1）设，由题意得所以又，所以C是除去极点的圆：（2）由已知，因为所以且【点睛】本题考查求极坐标方程，考查极坐标方程的应用注意极坐标的意义即可
