1、核心概念掌握 知识点一 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)知识点二 三个重要公式1平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)(2)求两向量的夹角(3)证明两向量垂直2解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积 ab 以及|a|b|，再由 cos ab|a|b|求出 cos，也可由坐标表示 cosx1x2y1y2x21y21x22y22直接求出cos.由三角函数值 cos 求角 时，应注
2、意角 的取值范围是 0.(2)由于 0，利用 cos ab|a|b|来判断角 时，要注意 cos0 也有两种情况：一是 是锐角，二是 0.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和()(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.()(3)若两个非零向量的夹角 满足 cos0)又ab10，410，2，a(2,4)(2)ac22(1)40，(ac)b0.答案 条件探究 若将本例改为 a 与 b 反向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量 a 的坐标；(2)若 c(2，1)，求(ac)b.解(1)a 与 b 反向，且 b(1,2)，设 a
3、b(0)，a(，2)，又 ab10，410，2，a(2，4)(2)ac2(2)(1)(4)440，(ac)b0.答案 数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0 C1 D2解析 a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.解析 答案 C答案 题型二向量的模的问题例 2(1)若向量 a(2x1,3x)，b(1x，2x1)，则|ab|的最小值为_；(2)若向量 a
4、 的始点为 A(2,4)，终点为 B(2,1)，求：向量 a 的模；与 a 平行的单位向量的坐标；与 a 垂直的单位向量的坐标解析(1)a(2x1,3x)，b(1x,2x1)，ab(2x1,3x)(1x,2x1)(3x2，43x)，|ab|3x2243x218x236x20 18x122，当 x1 时，|ab|取最小值为 2.解析(2)aAB(2,1)(2,4)(4，3)，|a|42325.与 a 平行的单位向量是 a|a|15(4，3)，即坐标为45，35 或45，35.解析 设与 a 垂直的单位向量为 e(m，n)，则 ae4m3n0，mn34.又|e|1，m2n21.解得m35，n45或
5、m35，n45，e35，45 或35，45.解析 答案(1)2(2)见解析答案 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算若 a(x，y)，则 aaa2|a|2x2y2，于是有|a|x2y2.设 xR，向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|()A.5 B.10 C2 5 D10解析 由 ab，可得 ab0，即 x20，解得 x2，所以 ab(3，1)，故|ab|3212 10.故选 B.解析 答案 B答案 题型三向量垂直的坐标表示例 3 设 O A(2，1)，O B(3,1)，O C(m,3
6、)(1)当 m2 时，用 O A和 O B表示 O C；(2)若 A BB C，求实数 m 的值解(1)当 m2 时，设 O CxOA yOB，则有2x3y2，xy3，解得x75，y85，即 O C75O A85O B.(2)A BO BO A(1,2)，B CO CO B(m3,2)因为 A BB C，所以 A BB C0，即 1(m3)220，解得 m1.答案 用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用坐标表示是把垂直条件代数化因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想已知在ABC 中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD 为 BC 边上的高，求|AD|与点 D 的坐
7、标解 设 D 点坐标为(x，y)，则AD(x2，y1)，BC(6，3)，BD(x3，y2)D 在直线 BC 上，即BD 与BC共线，存在实数，使BD BC，答案 即(x3，y2)(6，3)x36，y23，x32(y2)，即 x2y10.又ADBC，AD BC0，即(x2，y1)(6，3)0.6(x2)3(y1)0.答案 即 2xy30.由可得x1，y1.D(1,1)|AD|122112 5，即|AD|5，点 D 的坐标为(1,1).答案 题型四平面向量的夹角问题例 4 已知ABC 顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，(1)若 c5，求 sinA 的值；(2)若A 是钝角
8、，求 c 的取值范围解 AB(3，4)，AC(c3，4)(1)若 c5，则AC(2，4)cosAcosAC，AB ACAB|AC|AB|55.A 是ABC 的内角，故 sinA 1cos2A2 55.答案 (2)若A 为钝角，则ACAB0 且AC，AB不反向共线由ACAB0，得3(c3)16253.显然此时AC，AB不共线，故当A 为钝角时，c253.答案 求平面向量夹角的步骤若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)求出 abx1x2y1y2；(2)求出|a|x21y21，|b|x22y22；(3)代入公式：cos ab|a|b|(是 a 与 b 的夹角)已知平面向量 a(3,4)，b(
9、9，x)，c(4，y)，且 ab，ac.(1)求 b 与 c；(2)若 m2ab，nac，求向量 m，n 的夹角的大小解(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设 m，n 的夹角为，则 cos mn|m|n|37413242 72122525 2 22.0，34，即 m，n 的夹角为34.答案 题型五向量数量积的综合应用例 5 已知三点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标并求矩形 ABCD
10、的对角线的长度解(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，AB(1,1)，AD(3,3)则ABAD 1(3)130，ABAD，即 ABAD.(2)ABAD，四边形 ABCD 为矩形，ABDC.A(2,1)，B(3,2)，AB(1,1)设 C 点的坐标为(x，y)，则DC(x1，y4)，答案 从而有x11，y41，解得x0，y5，点 C 的坐标为(0,5)AC(2,4)，|AC|22422 5，故矩形 ABCD 的对角线的长度为 2 5.答案 利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关
11、系求解(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可(3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可已知 a，b，m，nR，设(a2b2)(m2n2)(ambn)2，其中 mn0，用向量方法求证：ambn.证明 设 c(a，b)，d(m，n)，且它们的夹角为(0180)，则 cdambn，|c|2a2b2，|d|2m2n2.(a2b2)(m2n2)(ambn)2，|c|2|d|2(cd)2.又 cd|c|d|cos，答案 cos2ambna2b2 m2n221，cos21.又 0180，0或 180，即 cd，anbm0.又 mn0，ambn.答案 随堂水平达标 1若 a(2，3
12、)，b(x,2x)，且 3ab4，则 x 等于()A3 B.13C13D3解析 3ab3(2x6x)12x4，x13.故选 C.解析 答案 C答案 2已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c 等于()A.79，73B.73，79C.73，79D.79，73答案 D答案 解析 设 c(x，y)，则 ca(1x,2y)，ab(3，1)，由已知可得22y3x10，3xy0，解得x79，y73，即 c79，73.解析 3已知 a(1,2)，b(x,4)，且 ab10，则|ab|_.解析 由题意，得 abx810，x2，ab(1，2)，|ab|5.解析 答案
13、5答案 4设向量 a 与 b 的夹角为，且 a(3,3)，2ba(1,1)，则 cos_.解析 2ba2b(3,3)(1,1)，2b(1,1)(3,3)(2,4)，b(1,2)cos ab|a|b|3，31，23232 122293 103 1010.解析 答案 3 1010答案 5已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求|ab|.解(1)若 ab，则 ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即 x22x30，解得 x1 或 x3.答案(2)若 ab，则 1(x)x(2x3)0，即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2.当 x0 时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当 x2 时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|4162 5.综上，|ab|2 或 2 5.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件
