1、山西省太原市第二十一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）（90分钟 满分100）一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分.每题只有一个正确选项，不选、多选、错选都不得分）1.在复平面内,复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.2.若复数满足，则复数等于（ ）A B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】直接利用复数的除法运算化简即可.【详解】由，得.故选：A.【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，属于基础题.3.已知，则等于（ ）A. B. C. D.
2、【答案】B【解析】【分析】利用函数的求导法则，求出，再令求出.【详解】由，得，所以，.故选：B.【点睛】本题考查了函数求导法则，函数值的运算，属于基础题.4.（ ）A. 4B. 2C. -2D. 0【答案】D【解析】【分析】根据积分公式直接计算即可【详解】.故选：D.【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.5.曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (-1,-4)或（1,0）D. (-1,-4)【答案】B【解析】解：因为曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x所以y
3、=3x2+1,在x=x0处的斜率为4，即3x02+1=4，x0=其坐标为(-1,-4)或（1,0）6.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是( )A. 假设三内角都不大于60B. 假设三内角都大于60C. 假设三内角至多有一个大于60D. 假设三内角至多有两个大于60【答案】B【解析】【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【详解】“三角形内角中至少有一个不大于60”时，反设是假设三内角都大于.故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.7.“四边形是矩形，四边形的对角线相等.”补充以上演绎推理的大前提是（
4、）A. 四边形是矩形B. 矩形是对角线相等的四边形C. 四边形的对角线相等D. 矩形是对边平行且相等的四边形【答案】B【解析】【分析】根据题意，用三段论的形式分析，即可得到结论.【详解】由题意，用演绎推理的三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形为矩形，得到四边形的对角线相等的结论，大前提一定是矩形的对角线相等.故选：B.【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.8.可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，故选9.设为虚数单位，若复数满足，其中为复数的共轭复数，则（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】设
5、复数，则共轭复数，利用复数代数形式的乘除运算化简即可.【详解】由题意，设复数，则共轭复数，由，得，所以，即，故.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数的摸，属于基础题.10.函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数的单调性【详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，故选：【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题11.设，那么等于（ ）A. B. C. D.
6、【答案】C【解析】【分析】根据题意，写出，作差即可.【详解】由题意，则，所以，即.故选：C.【点睛】本题考查数学归纳法，正确弄清由到时增加和减少的项是解题的关键，属于基础题.12.已知对任意实数，有，且时，则时（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，所以是奇函数，关于原点对称，是偶函数，关于y轴对称，时则都是增函数，由对称性可知时递增，递减，所以考点：函数奇偶性单调性二、填空题：（本大题共4小题；每小题3分，共12分.）13.复数的共轭复数是 _【答案】. 【解析】 ，故该复数的共轭复数为 .14.函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则a的范围是 【答
7、案】【解析】【分析】将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解的取值范围即可.【详解】由题意可得：，若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不同的实数根，即：，整理可得：整理可得：，据此可知的取值范围是或.【点睛】(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值15.安排5名歌手的演出顺序时，要求甲歌手不第一个出场，另一名歌手乙不最后一个出场，不同的排法种数是_（用数字作答）【答案】78.【解析】分析：
8、分两种情况：甲在最后一个位置时，乙在剩下的位置中任意选择即可，当甲不在第一个和最后一个时，甲有3种选择，乙也有三种选择，剩下的人全排列.详解：当甲在最后一个位置时，乙在剩下的位置中任意选择即可，方法种数为种，当甲不在第一个和最后一个时，甲有3种选择，乙也有三种选择，剩下的人全排列即可， 共有54+24=78种.故答案78.点睛:排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配.16.给出下列不等式:则按此规律可猜想第个
9、不等式为_【答案】【解析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为3,7,15，可猜想第n个式子中左边应有2n11项，不等式右边分别写成，猜想第n个式子中右边应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1 (nN*)三、解答题：（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）165（2）【解析】【分析】（1）直接根据组合数公式计算即可；（2）直接利用牛顿莱布尼茨公式，定积分的几何意义计算即可.【详解】（1）.（2），其中，表示的是半径为的圆的面积的，即，所以.【点睛】本题考查组合数公式的计算，定积分的计算，解题的关键是理解定积分的几何
10、意义，考查学生的运算能力，属于基础题.18.已知曲线.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求与直线平行的曲线的切线方程.【答案】(1) (2)或.【解析】【分析】(1)由题意可得，切线的斜率为，据此可得切线方程为.(2)设与直线平行的切线的切点为，由导函数与切线的关系可得，则切线方程为或.【详解】(1)，求导数得，切线的斜率为，所求切线方程为，即.(2)设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为.又所求切线与直线平行，解得，代入曲线方程得切点为或，所求切线方程为)或)，即或.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程及其应用，导数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.
11、设，复数,试求为何值时，分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数【答案】(1) 1或2时; (2)且;(3) .【解析】【分析】（1）利用虚部等于零列方程求解即可；（2）利用虚部不等于零可得结果；（3）利用实部等于零且虚部不等于零求解即可.【详解】(1)当z为实数时，则有m23m20，解得m1或2.即m为1或2时，z为实数(2)当z为虚数时，则有m23m20，解得m1且m2.即m1且m2时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，则有2m23m-20且m23m20，解得m.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概
12、念，复数的分类问题，一定要注意计算的准确性.20.已知数列中，（）求；（）猜想表达式，并用数学归纳法证明【答案】(I）；（II）见解析.【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意数学归纳法的步骤试题解析：(1）； （2）猜想： 证明：当n=1时，猜想成立. 假设n=k时成立，即， 则当n=k+1时，由得 所以n=k+1时，等式成立. 所以由知猜想成立. 21.已知函数，其中且为常数.（1）试判断当时函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）设函数在处取得极值，求的值，并讨论函数的单调性.【答案】（1）当时函数在区间上为增函数.见解析（2），在上单调递减，在单调递增.【解析】【分析】（1）将代入函数得，求得导函数，再判断导函数的符号即可；（2）根据题意由得，从而可得，进而判断的单调区间，再由导函数零点可知其符号变化情况，从而可得的单调性.【详解】（1）当时，则.当时，即，当时函数在区间上为增函数.（2）由题意，得，因是的极值点，得，即，解得，于是，定义域为，显然函数在上单调递增，且，因此当时，；当时，所以在上单调递减，在单调递增.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，正确理解导数与函数单调性的关系是解题关键，属于基础题.
