1、专题03函数的基本性质学习目标1.函数、函数的运算；函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最大值或最小值。2.理解函数的概念，能使用函数的记号表示，3.会求函数值，4.会求简单函数的定义域和值域。5.理解函数运算意义，会求两个函数的和与积。6.掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，7.会求一些简单函数的最大值和最小值。知识梳理重点1函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就
2、说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.重点2函数的奇偶性偶函数：设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.奇函数：设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满足，或，若时，.重点3对称变换：y = f（x）y =f（x）y =f（x）重点4判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：例题分析例1在上定义运算：，若不等式对任意
3、实数恒成立，则实数的最大值为（ ）ABCD【答案】D【详解】由，则即，所以恒成立，在上的最小值为，所以，整理可得，解得，实数的最大值为，故选：D例2已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，所以，所以，即，易知函数在上单调递减，所以，即，解得或.故选A.跟踪练习1已知函数，且，则下列结论中，一定成立的是（ ）A，B，CD2已知函数，且，则的大小关系为（ ）ABCD3已知，且f(5)=7，则f(5)的值是A5B7C5D74设是定义在上且图象为连续不断的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有实数之和为（ ）ABCD5已知函数的定义域为实数集，对，有成立，且，则A10B5C0D
4、-56函数是定义在上的奇函数若，则的值为（ ）A6B5C4D37已知函数是奇函数（I）求m的值；（II）若对任意，恒有，求实数a的取值范围8某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：摄氏度)与时间(单位：小时)近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到)；（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.9上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更
5、多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.（1）求的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？10已知二次函数（1）若在的最大值为，求的值；（2）若对任意实数，总存在，使得求的取值范围参考答案1D【详解】解：对于A，因为，所以，而函数在区间上是减函数，故，与题设矛盾，所以A不正确；对于B，可
6、设，此时为最大值，与题设矛盾，故B不正确；对于C，取，同样为最大值，与题设矛盾，故C不正确；对于D，因为，且，说明可能如下情况成立、位于函数的减区间，此时，可得，所以成立、不在函数的减区间，则必有，所以，化简整理，得成立综上所述，可得只有D正确故选：2D【详解】因为，所以定义域为且关于原点对称，又因为，所以为偶函数；当时，因为、均单调递增，所以在上也单调递增，又因为，所以，所以，所以，故选：D.3A【详解】解：因为，令，则，即为奇函数，又，所以，所以，所以，所以故选：A4A【详解】因为函数是定义在上且图象为连续不断的偶函数，且当时是单调函数，所以当时，是也是单调函数，且函数的图象关于纵轴对称，
7、因此由或，当时，可得，显然不是该方程的根，该方程根的判别式为，所以该方程有两个不相等的实根，设为，则有，当时，可得，该方程根的判别式为，故该方程没有实数根，综上所述：满足的所有实数之和为，故选：A5D【详解】对，有，所以，所以函数的周期为，所以，对于令可得，所以，即，故选：D.6A【详解】函数是定义在上的奇函数，则，解得又，则，所以故选：A7（I）；（II）【详解】（I）因为函数的定义域为R，且是奇函数，所以，所以，所以m的值为；（II）由（I）得，所以函数是在R上的增函数，所以不等式等价于，即，所以，又，所以，所以，所以原不等式等价于恒成立，令，则，所以，令，所以在上单调递减，所以，又，所以
8、，所以实数a的取值范围为8（1）；（2）【详解】（1）由题设知：，又均单调递减，在上单调递减，故当时，大棚一天中保温时段的最低温度.（2）由题意，且，当时，由（1）知递减，故只要即可，则，当时，当且仅当时等号成立，故只要即可，则，若有，此时成立.综上，在上，要保持一天中保温时段的最低温度不小于，大棚一天中保温时段通风量的最小值为9（1）；（2）分钟.【详解】（1）由题意知，（k为常数），因，则，所以；（2）由得，即，当时，当且仅当等号成立；当时，在10，20上递减，当时Q取最大值24，由可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.10（1）；（2）.【详解】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，（1）当，即时，在上单调递减，不合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，又，在的最大值为，解得：；综上所述：.（2）若对任意实数，总存在，使得，则对恒成立，当时，在上单调递增，当时，单调递增，；当，即时，在上单调递减，当时，单调递减，；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，当时，又，令，则在上单调递增，解得：；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，解得：；综上所述：的取值范围为.
