1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的基本定理 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题(重点、难点).3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理两个空间向量 a，b()，ab 的充要条件是，使.(2)向量共面的条件axb.b0存在唯一的实数 x课时分层
2、作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页向量 a 平行于平面 的定义已知向量 a，作OA a，如果 a 的基线 OA，则就说向量 a 平行于平面，记作.共面向量的定义平行于的向量，叫做共面向量共面向量定理如果两个向量 a，b，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是，使.平行于平面 或在 内acxayb.同一平面不共线存在唯一的一对实数x，y课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2空间向量分解定理(1)空间向量分解定理如果三个向量 a，b，c，那么对空间任一向量 p，使.pxaybzc不共面存在一个唯一的有序实数组x，y，z课时分层作业当堂达标固双基自主预
3、习探新知合作探究攻重难返首页(2)基底如果三个向量 a，b，c 是三个，则 a，b，c 的线性组合 xaybzc 能生成所有的空间向量，这时 a，b，c 叫做空间的一个，记作，其中 a，b，c 都叫做表达式 xaybzc 叫做向量 a，b，c 的或不共面的向量基底基向量线性表示式线性组合a，b，c 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)向量 a，b，c 共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()(2)若向量 e1，e2 不共线，则空间任意向量 a，都有 ae1e2(，R)()提示(1)表示这三个向量的有向线段平行于同一平面(2)与 e1，e
4、2 共面的任意向量 a，都有 ae1e2(，R)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2给出的下列几个命题：向量 a，b，c 共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使 cxayb；零向量的方向是任意的；若 ab，则存在唯一的实数，使 ab.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3B 只有为真命题课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数 x，y，z 使得 xaybzc0，则 x，y，z 满足的条件是_【导学号：33242244】xyz0 若 x0，则 ayxbzxc，即 a 与 b，c 共面由a，b，c是空
5、间向量的一个基底，知 a，b，c 不共面，故 x0，同理 yz0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难向量共线问题 如图 3-1-11 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A1E 2ED1，F 在对角线 A1C 上，且A1F 23FC.求证：E，F，B 三点共线图 3-1-11课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 设ABa，AD b，AA1 c.A1E 2ED1，A1F 23FC，A1E 23A1D1，A1F 25A1C.A1E 23AD 23b，A1F 25(ACAA1)25(AB
6、AD AA1)25a25b25c.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页EFA1F A1E 25a 415b25c25a23bc.又EBEA1 A1A AB23bcaa23bc，EF25EB.E，F，B 三点共线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 判定两向量共线就是寻找 x 使 axb(b0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出 axb，从而得 ab.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1如图 3-1-12 所示，已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是边 AB、AD的中点，F、G 分别是
7、CB、CD 上的点，且CF23CB，CG 23CD.利用向量法求证四边形 EFGH 是梯形图 3-1-12课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 E、H 分别是边 AB、AD 的中点，AE12AB，AH 12AD，EH AH AE 12 AD 12AB 12(AD AB)12BD 12(CD CB)1232CG 32CF 34(CG CF)34FG，EH FG 且|EH|34|FG|FG|，又 F 不在 EH 上，四边形 EFGH 是梯形.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页共面向量定理及应用 对于任意空间四边形 ABCD，E、F 分别是 AB
8、、CD 的中点试证：EF与BC、AD 共面.【导学号：33242245】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 思 路 探 究 分析题意 利用向量的运算法则表示EF 利用中点关系寻求EF、BC、AD 的关系 应用向量共面的充要条件 得出结论课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 上的点，则EFEAAD DF，EFEBBCCF.又 E、F 分别是 AB、CD 的中点，故有EAEB，DF CF，将代入中，两式相加得 2EFAD BC.所以EF12AD 12BC，即EF与BC、AD 共面课时分层作业当
9、堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2如图 3-1-13 所示，P 是平行四边形 ABCD所在平面外一点，连接 PA，PB，PC，PD，点 E，F，G，H 分别是PAB，PBC，PCD，PDA的重心，分别延长 PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接 MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H 四点共
10、面图 3-1-13课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 E、F、G、H 分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R 为所在边的中点，顺次连接 M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE23PM，PF23PN，PG 23PQ，PH 23PR.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页MNQR 为平行四边形，EG PG PE23PQ 23PM 23MQ 23(MN MR)23(PNPM)23(PRPM)2332PF32PE 2332PH 32PEEFEH.由共面向量定理得EG，EF，EH 共面，所以 E、F、G、H 四点共面.课时分层作业当堂达标固双
11、基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基底的判断及应用 探究问题1构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？提示 不唯一，不共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2怎样理解空间向量基本定理？提示(1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底(3)拓展：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使OP xOA yOB zOC，当且仅当 xyz1 时，P、A、B、C 四点共面课时分层作业
12、当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底图 3-1-14(2)如图 3-1-14，在三棱柱 ABC-ABC中，已知AA a，ABb，ACc，点 M，N 分别是 BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量AM，AN.【导学号：33242246】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)判断 ab，bc，ca 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底(2)借助图形寻找待求向量与 a，b，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用 a，b，c 表示出来课时
13、分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)假设 ab，bc，ca 共面则存在实数、使得 ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a，b，c 不共面1，1，0.此方程组无解，ab，bc，ca 不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)AM ABBM AB12BCAB12(BB BC)AB12BB 12(AC AB)b12a12(cb)b12a12c12b12a12b12c.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页ANAA AB BNAA AB 12BCab12(AC AB
14、)ab12(cb)a12b12c.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变换条件)若把本例 3(2)中的AA a 改为AC a，其他条件不变，则结果又是什么？解 AM ABBMAB12BCAB12(AC AB)b12(ab)12a12b.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页ANAC CNAC 12CBAC 12BC AC 12(AC AB)a12(cb)a12b12c.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.(变换条件、改变问法)如图 3-1-15 所示，本例 3(2)中增加条件“P 在线段 AA上，且 AP
15、2PA”，试用基底a，b，c表示向量MP.图 3-1-15课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 MP MC CA AP12BC AC 13AA12(BB BC)AC13AA12AA(ACAB)AC13AA12(acb)c13a16a12b12c.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空
16、间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有 a，b，c，不能含有其他形式的向量.提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来.)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N 是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，那么 A，B，M，N 共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若 mac，则a，b，
17、m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页D 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底显然正确，中由BA、BM、BN共面且过相同点 B，故 A、B、M、N 共面下面证明正确课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页假设 d 与 a、b 共面，则存在实数，使 dab，d 与 c 共线，c0，存在实数 k，使 dkc，d0，k0，从而 ckakb，c 与 a、b 共面与条件矛盾d 与 a，b 不共面同理可证也是正确的课时分层作业当堂达标固双基自
18、主预习探新知合作探究攻重难返首页2对空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C，能得到 P、A、B、C 四点共面的是()AOP OA OB OCBOP 13OA 13OB 13OCCOP OA 12OB 12OCD以上皆错课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页B 法一：1313131，选 B.法二：OP 13OA 13OB 13OC，3OP OA OB OC，OP OA(OB OP)(OC OP)，APPBPC，PAPBPC，P、A、B、C 共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知正方体 ABCD-ABCD，点 E 是 AC的中点，点 F 是
19、AE 的三等分点，且 AF12EF，则AF等于()【导学号：33242247】A.AA 12AB12AD B.12AA 12AB12ADC.12AA 16AB16AD D.13AA 16AB16AD课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页D 由条件 AF12EF 知，EF2AF，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页AEAFEF3AF，AF13AE13(AA AE)13(AA 12AC)13AA 16(AD AB)13AA 16AD 16AB.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点
20、 O，OM xOA 13OB 13OC，则 x 的值为_13 因为点 M 在平面 ABC 中，即 M、A、B、C 四点共面，所以 x13131，即 x13.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5如图 3-1-16 所示，在空间四面体 A-BCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判断向量EF与AD BC是否共线？【导学号：33242248】图 3-1-16课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 取 AC 中点为 G.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页连接 EG，FG，GF 12AD，EG 12BC，EFEG GF12BC12AD12(AD BC)EF与AD BC 共线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十九）点击上面图标进入 谢谢观看
