1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修1 第二章 函 数成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 函 数 第二章 第二章 函 数成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 第二章 3 函数的单调性第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课时作业 4课前自主预习 1第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 课前自主预习第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8月8日吗？通过
2、查阅资料，我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事在日常生活中，我们会关心很多数据的变化(如食品的价格、燃油价格等)，所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小的问题，也就是本节我们所要研究的函数的单调性问题.第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 1.函数的递增与递减在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间A上是_，有时也称函数yf(x
3、)在区间A上是_在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2A，当_时，都有_，那么就称函数yf(x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间A上是_增加的递增的x1f(x2)递减的第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 2函数的单调区间如果yf(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为_在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是_；如果函数是_，那么它的图像是下降的对于函数yf(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，就称函数yf(x)在数集A上是_在函数yf(x)在
4、定义域的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1f(x2)减少的第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 3函数的单调性如果函数_，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为_或_，统称为_在定义域的某个子集上是增加的或是减少的增函数减函数单调函数第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 1.函数f(x)x2的递增区间为()A(，0 B0，)C(，)D(1，)答案 A解析 由函数f(x)x2的图像可知，它的递增区间为(，0故选A.导学号18160282第二章
5、3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 2设函数 f(x)(2a1)xb 是 R 上的减函数，则有()Aa12Ba12Ca12Da12答案 D解析 f(x)在 R 上为减函数，2a10 即 a0，bf(2)，则x的取值范围是_答案(3，)解析 f(x)是R上的增函数，且f(x1)f(2)，x12，x3.4若函数 ybx在(0，)上是减少的，则实数 b 的取值范围是_导学号18160285导学号18160286第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 课堂典例讲练第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 已知四个函数的图像如
6、下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是()思路分析 已知函数的图像判断其单调性应从它的图像是上升的还是下降的角度来考虑规范解答 根据函数单调性的定义结合函数图像可知函数B在定义域内为单调递增函数答案 B函数单调性的判断导学号18160287第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 下列命题正确的是()A定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得x1x2时有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增加的B定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2(a，b)，使得x1x2时有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)
7、上是增加的C若f(x)在区间I1上为增加的，在区间I2上也是增加的，那么f(x)在I1I2上也一定是增加的D若f(x)在区间I上是增加的且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么x1x2导学号18160288第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 答案 D解析 由单调性定义知，选项 A、B 错；对于 C，可举反例，如 y1x，在区间(，0)上是增加的，在区间(0，)上也是增加的，若 x11，x21 时，x1f(1)1，函数 y1x在(，0)(0，)上不是增加的，注意这种写法的错误性，所以 C 错，故选 D.第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学
8、 必修1 利用定义证明或判断函数的单调性证明：函数 yx9x在(0,3上是减少的思路分析 利用函数增减性的定义来证明，其关键是对f(x1)f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式规范解答 设 0 x1x23，则有y1y2(x19x1)(x29x2)(x1x2)9x1x2x1x2导学号18160289第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 (x1x2)(1 9x1x2)0 x1x23，x1x21，即 1 9x1x20，即 y1y2，函数 yx9x在(0,3上是减少的第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规律总结 证明函数在某
9、个区间上的单调性的步骤：(1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1x2；(2)作差变形：计算f(x1)f(x2)，通过因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法变形；(3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；(4)结论：根据差的符号，得出单调性的结论第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 证明：函数 f(x)x12x在区间3,5上是增加的证明 设 x1，x2 是区间3,5上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x112x1x212x23x1x22x12x2.因为 3x1x25，所以 2x10,2x20，x1x20.所以 f(
10、x1)f(x2)0，即 f(x1)0)导学号18160291第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 思路分析 求给定函数的单调区间通常采用以下方法：(1)利用已知函数的单调性；(2)图像法；(3)定义法(利用单调性的定义探讨)规范解答(1)f(x)x32214.yf(x)是开口向下的抛物线，对称轴为 x32，f(x)在，32 上是增加的，在32，上是减少的f(x)的单调增区间是，32，单调减区间是32，.第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 (2)f(x)3|x|3x x0，3x x0.由一次函数的单调性可得 f(x)在(，0)上是减少
11、的，在0，)上是增加的所以 f(x)的单调减区间是(，0)，单调增区间是0，)第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 (3)f(x)x22x3x0，x22x3x0.其图像如图所示由此可知，yf(x)在(，1，0,1上是增加的；yf(x)在1,0，1，)上是减少的f(x)的单调增区间是(，1，0,1，单调减区间是1,0，1，)第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 (4)设 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)11x111x2x1x2x1x2，0 x1x2，x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上
12、是增加的f(x)的单调增区间是(0，)第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规律总结 1.对于含有绝对值的函数，往往转化为分段函数去处理如 y|x|xx0 xx0，则下列函数中增函数的个数是()y1f(x)y 1fx yf 2(x)y fxA1B2C3D4导学号18160292第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 答案 A解析 由于 y1t，y1t，y t均在(0，)上递减，而 f(x)递增，且 f(x)0，函数 y1f(x)，y 1fx，y fx均在 U 上递减又yt2 在(0，)上递增，yf 2(x)也递增第二章 3 成才之路 高
13、中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 (2)函数y3x26x12在区间_上为增函数，在区间_上为减函数答案 1，)(，1解析 y3x26x123(x1)215，它的图像开口向上，对称轴为x1.在1，)上为增函数，在(，1上为减函数.第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 利用函数的单调性求最值(1)求函数 f(x)x22x 在区间0，)上的最大值；(2)求函数 f(x)2x1在区间2,6上的最大值和最小值思路分析(1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值；(2)利用函数增加、减少的定义判断f(x)在2,6上的单调性，再求最值导学号181
14、60293第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规范解答(1)画出函数 f(x)x22x 的图像(如图)，由图像可知：f(x)在0,1上是增加的，在1，)上是减少的，所以 f(x)在0，上的最大值是 f(1)1.第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 (2)任取 x1，x22,6，且 x1x2，则f(x2)f(x1)2x212x112x2x1x21x11.因为 2x10，(x21)(x11)0，于是2x2x1x21x110，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)2x1在区间2,6上是增加的，所以函数 f(x)2x1在区间2,6的左
15、、右端点处分别取得最小值、最大值，即最大值为 f(6)26127，最小值为 f(2)22123.第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规律总结 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤：(1)判断：先判断函数的单调性(2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最值2明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点：(1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标(2)求最值忘记求定义域(3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 若函数 f(x)1x1，x3,4，求 f(x)的最值解析
16、 在3,4上任取两个值 x1，x2 且 x10，f(x2)f(x1)1x211x11x11x21x21x11x1x2x21x11.x1，x23,4，(x21)(x11)0，x1x20.f(x2)f(x1)f(x)1x1在3,4上是减少的f(x)的最大值为 f(3)12，f(x)的最小值为 f(4)13.导学号18160294第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 利用单调性求参数取值范围已知 f(x)ax1x2 在区间(2，)上是增加的，求 a 的取值范围思路分析 利用单调性定义求解规范解答 在区间(2，)上任取 x1，x2，且2x12，x22，x120，x220.
17、f(x)在(2，)上是增加的，f(x2)f(x1)0，x2x10，2a10，a12.第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 已知yf(x)在定义域(1,1)上是减少的，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围分析 不等式f(1a)f(2a1)为抽象不等式，不能直接求解考虑到函数的单调性，可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即转化为具体不等式来求解导学号18160296第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 解析 由题意可知11a1，12a11，解得 0a1.f(x)在(1,1)上是减少的，且 f(1a)2a1，即 a23.由可
18、知，0a23.即所求 a 的取值范围是 0a23.第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 易错疑难辨析第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 若函数f(x)x22(a1)x4的单调递减区间是(，4，则实数a的取值范围是_错解 函数f(x)的图像的对称轴为直线x1a，由于函数在区间(，4上单调递减，因此1a4，即a3.辨析 错解中把单调区间误认为是在区间上单调导学号18160297第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 正解 因为函数的单调递减区间为(，4，且函数图像的对称轴为直线x1a，所以有1a4，即a3.答案 a3规律总结 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义第二章 3 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 课时作业（点此链接）
