1、解题思维4高考中结构不良试题的提分策略1.在b1+b3=a2,a4=b4,S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.设等差数列an的前n项和为Sn,bn是等比数列,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得SkSk+1且Sk+1A.条件:cosB=255.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.4.在离心率为3,且经过点(3,4);a2c=4,且焦距为2;这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的直线l存在,求出l的方程;若问题中的直线l不存在,说明理由.问题:已知曲线C:mx2+ny2=1(m,n0)的
2、焦点在x轴上,是否存在过点P(-1,1)的直线l,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点?注:若选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分.答 案解题思维4高考中结构不良试题的提分策略1.因为bn为等比数列,且b2=3,b5=-81,设公比为q,则b5=b2q3,即3q3=-57,所以q=-3.则bn=-(-3)n-1.所以a5=b1=-1.假设存在k,使得SkSk+1且Sk+10)且a10,又a1=a2-d=-130,所以存在满足题意的k,且k=4.若选择条件,则a4=b4=27,由a5=-1得d=-280,所以满足题意的k不存在.若选择条件,则S5=5(a1+a5)2=-25,a1=-
3、90.所以满足题意的k存在,且k=4.2.由sinAcosA=sinB+sinCcosB+cosC,得sin AcosB+sinA cos C=cos AsinB+cosAsinC,sinAcosB-cos AsinB=cos AsinC-sin AcosC,所以sin(A-B)=sin(C-A).因为A,B,C(0,),所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=3.(1)ABC还同时满足条件.理由如下:若ABC同时满足条件,则由正弦定理得sin B=bsinAa=5371,这不可能,所以ABC不能同时满足条件,若ABC同时满足条件,则ABC的面积S=12bcsin A=12b832=103
4、,所以b=5,与条件b=10矛盾,此时可求得a=7或a=-7(舍去).所以ABC还同时满足的三个条件为.(2)在ABC中,由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=23.因为C=23-B,所以b=23sin B,c=23sin(23-B).所以L=a+b+c=3+23sin B+sin(23-B)=6(32sin B+12cos B)+3=6sin(B+6)+3,因为B(0,23),所以B+6(6,56),sin(B+6)(12,1,所以ABC周长L的取值范围为(6,9.3.(1)在ABC中,由余弦定理知b2+c2-a2=2bccos A,所以2b2=2bccos A(1-tan A),
5、所以b=c(cos A-sin A),由正弦定理知bc=sinBsinC,得sin B=sin C(cos A-sin A),所以sin(A+C)=sin C(cos A-sin A),即sin AcosC+cosAsinC=sin CcosA-sin CsinA,所以sin AcosC=-sin CsinA,因为sin A0,所以cos C=-sin C,所以tan C=-1,又0CA,所以ba,所以a=22,b=4,又D为BC中点,所以CD=2,在ACD中,AD2=CA2+CD2-2CACDcos C=16+2-242cos34=26,所以AD=26.若选择条件,因为cos B=255,所
6、以sin B=1-cos2B=55,又sinBAC=sin(B+C)= sin BcosC+sinCcosB=1010,由正弦定理知csinC=asinBAC,所以a=csinBACsinC=22,又D为BC中点,所以BD=2,在ABD中,由余弦定理知AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,得AD=26.4.若选条件.由题设得曲线C为焦点在x轴上的双曲线.设m=1a2,n=-1b2(a0,b0),则曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),(题眼)由题设得a2+b2a2=3,9a2-16b2=1,解得a2=1,b2=2,所以曲线C的方程为x2-y22=1.(i)当直线l的斜率不
7、存在时,直线l的方程为x=-1,则直线l与曲线C有且仅有一个交点(-1,0),不符合题意.(ii)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y-1=k(x+1),即y=k(x+1)+1,代入x2-y22=1得(2-k2)x2-2k(k+1)x-(k2+2k+3)=0(*),若2-k2=0,即k=2时,方程(*)有且仅有一解,不符合题意;若2-k20,即k2时,其判别式=-2k(k+1)2-4(k2-2)(k2+2k+3)=8(2k+3)0,则k-32,所以方程(*)有两个不同实数解时,k-32且 k2, 于是x1+x2=-2k(k+1)2-k2=2(-1)=-2
8、,解得k=-2,与k-32且 k2矛盾.所以不存在直线l,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点.若选条件.由题设得曲线C为焦点在x轴上的椭圆.设m=1a2,n=1b2(ab0),则曲线C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题设得a2c=a2a2-b2=4,2a2-b2=2,解得a2=4,b2=3,所以曲线C的方程为x24+y23=1.(i)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,代入x24+y23=1得y=32,P(-1,1)不是线段AB的中点,不符合题意.(ii)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1)+1,代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+8k(k+1)x+4(k2+2k-2)=0,其判别式=8k(k+1)2-4(3+4k2)4(k2+2k-2)=16(9k2-6k+6)0恒成立,于是x1+x2=-8k(k+1)3+4k2=2(-1)=-2,解得k=34,故y=34(x+1)+1=34x+74,即3x-4y+7=0,所以存在直线l:3x-4y+7=0,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点.(12分)
