1、第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.3.能用所学知识解决有关综合问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:(1)设单位向量i,j分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,O为坐标原点,若向量OA=3i+2j,则向量OA的坐标是,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为;(2)已知|i|=|j|=1,ij,且a=3i+2j,b=i-j,则ab=.二、信息交流,揭示规律问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
2、,怎样用a与b的坐标来表示ab呢?问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件以及夹角的余弦?2.平面内两点间的距离公式(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|=(平面内两点间的距离公式).3.向量垂直的判定设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab.4.两向量夹角的余弦(0)cos=ab|a|b|=.三、运用规律,解决问题【例1】已知a=(-1,3),b=(3,-1),求ab,|a|,|b|,a与b的夹角.【例2】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC的
3、形状,并给出证明.【例3】在RtOAB中,OA=(2,3),OB=(1,k),求实数k的值.四、变式演练,深化提高练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足xa=9与xb=-4的向量x.五、反思小结,观点提炼本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业P108习题2.4A组第9,10,11题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)(3,2)a=i-2j(2)1二、信息交流,揭示规律问题2:设向量i,j分别为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j),x1x2i2+(x1
4、y2+x2y1)ij+y1y1j2=x1x2+y1y2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.从而可得1.ab=x1x2+y1y2.问题3:2.(1)|a|=x2+y2(2)(x2-x1)2+(y2-y1)2(3)x1x2+y1y2=04.x1x2+y1y2x12+y12x22+y22 .三、运用规律,解决问题【例1】解:ab=(-1)3+3(-1)=-23,|a|=(-1)2+(3)2=2,|b|=(3)2+(-1)2=2,cos=ab|a|b|=-2322=-32,因为0,所以=56.【例2】解:ABC是直角三角形.证明如下:因为AB=(1,1),AC=(-3,3),ABAC=1(-
5、3)+13=0,所以ABAC,所以ABC是直角三角形.【例3】解:(1)若AOB=90,则OAOB,所以2+3k=0可得 k=-23;(2)若OAB=90,则AOAB,而AO=(-2,-3),AB=OB-OA=(-1,k-3),所以2-3(k-3)=0,从而 k=113;(3)若OBA=90,则BOBA,而BO=(-1,-k),BA=OA-OB=(1,3-k),因为-1-k(3-k)=0,所以k=3132 .四、变式演练,深化提高练习:解:设x=(t,s),由xa=9,xb=-43t-s=9,t+2s=-4t=2,s=-3,所以x=(2,-3).五、反思小结,观点提炼1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.
