1、第九章直线和圆的方程第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系1.2021南京市学情调研在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x-1)2+y2=1,点B(3,0),过动点P引圆A的切线,切点为T.若|PT|=2|PB|,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2-14x+18=0B.x2+y2+14x+18=0C.x2+y2-10x+18=0D.x2+y2+10x+18=02.2021云南省部分学校统一检测圆x2+y2-4y-4=0上恰有两点到直线x-y+a=0(a0)的距离为2,则a的取值范围是()A.(4,8)B.4,8)C.(0,4)D.(0,43.2021河南省名校第一次联考已知圆C:(x-a)2
2、+y2=4(a2)与直线x-y+22-2=0相切,则圆C与直线x-y-4=0相交所得弦长为()A.1B.2C.2D.224.2021安徽省示范高中联考已知两个不相等的实数a,b满足关系式b2cos +bsin+2=0和a2cos +asin+2=0,则经过A(a2,a),B(b2,b)两点的直线l与圆x2+y2=4的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.与的取值有关5.2020武汉市高三学习质量检测圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2 +y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为()A.2B.2C.22D.236.2020贵阳市高三摸底测试“m=43”是“直线x-my+4m-2=0与圆x2+
3、y2=4相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.2020湖北武汉部分学校测试已知A(-1,0),B(1,0)两点以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r0),若圆C上存在点P,满足APPB=0,则r的取值范围是()A.3,6B.3,5C.4,5D.4,68.2020浙江名校联考设圆x2+y2-2x-3=0截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CD,则四边形ACBD的面积是()A.83B.43C.8D.49.原创题已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若点A,B在圆C上,满足|AB|=23,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的
4、取值范围是()A.-25,25B.-5,5C.(-5,5)D.-5,510.2021合肥市调研检测若直线l经过抛物线x2=-4y的焦点且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切,则直线l的方程为.11.2020湖北孝感模拟在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2).若存在点P,使得|PA|=2|PB|,|PC|=|PD|,则实数a的取值范围是.12.2020山东省质检过直线x+y+1=0上一点P作圆C:x2+y2-4x-2y+4=0的两条切线,切点分别为A,B,若四边形PACB的面积为3,则点P的横坐标为.13.2020湖南模拟若函数f(x)=-1
5、beax(a0,b0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是.14.2018全国卷,19,12分设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.15.2021山西省晋南检测过圆x2+y2=4上一点P作圆O:x2+y2=m2(m0)的两条切线,切点分别为A,B,若APB=3,则实数m=()A.13B.12C.1D.216.2021陕西百校联考已知圆M:x2+y2+2x-1=0,直线l:x-y-3=0,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆M相切于点A,B
6、,当切线长PA最小时,弦AB的长度为()A.62B.6C.26D.4617.2021陕西省部分学校摸底检测已知圆C1:x2+y2-kx-y=0和圆C2:x2+y2-2ky-1=0的公共弦所在的直线恒过定点M,且点M在直线mx+ny=2上,则m2+n2的最小值为()A.15B.55C.255D.4518.2021黑龙江省高三六校联考已知直线3x-y-3=0与x轴交于点A,与圆M:(x-2)2+(y+3)2=4交于B,C两点,过点A的直线与过B,C两点的动圆N相切于点P,当PBC的面积最大时,切线AP的方程为()A.x+3y+3=0B.3x+y+3=0C.3x+y-3=0D.x+3y-3=019.
7、2020惠州市一调已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3的公共点的个数为()A.1B.2C.4D.020.2020江苏,14,5分在平面直角坐标系xOy中,已知P(32,0),A,B是圆C:x2+(y-12)2=36上的两个动点,满足|PA|=|PB|,则PAB面积的最大值是.21.2020广东省茂名市联考已知圆C:x2+y2-8x-6y+F=0与圆O:x2+y2=4相外切,切点为A,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q.(1)求点Q的轨迹方程;(2)若|AQ|=|AP|,点P与点Q不重合,求直线MN的方
8、程及AMN的面积.22.2019湖北省模拟已知圆C经过点A(74,174),B(-318,338),直线x=0平分圆C,直线l与圆C相切,与圆C1:x2+y2=1相交于P,Q两点,且满足OPOQ(O为坐标原点).(1)求圆C的方程;(2)求直线l的方程.23.递进型已知圆C:x2+y2-2x-6y+4=0与直线l:x+y+b=0,若直线l与圆C交于A,B两点,且AOB=90(O为坐标原点),则b=,|AB|=.24.与不等式综合点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b均为正实数,则1a+1+1b的最小值为.
9、25.2020南昌市一模递进型如图9-2-1,一列圆Cn:x2+(y-an)2=rn2(an0,rn0)逐个外切,且所有的圆均与直线y=22x相切,若r1=1,则a1=,rn=.图9-2-1答 案第九章直线和圆的方程第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系1.C设P(x,y),由圆的切线的性质知,|PT|2+|AT|2=|PA|2.因为|PT|=2|PB|,所以2|PB|2+|AT|2=|PA|2,即2(x-3)2+y2+1=(x-1)2+y2,整理得x2+y2-10x+18=0,故选C.2.A将圆的方程x2+y2-4y-4=0化为标准方程得x2+(y-2)2=8,则该圆的圆心坐标为(0,2),半径
10、为22.设圆心到直线x-y+a=0(a0)的距离为d,因为圆x2+(y-2)2=8上恰有两点到直线x-y+a=0(a0)的距离为2,所以2d32,即2|0-2+a|20,解得4a0)的距离为d,(1)若圆x2+(y-2)2=8上恰有一点到直线x-y+a=0(a0)的距离为2,则d=32;(2)若圆x2+(y-2)2=8上恰有两点到直线x-y+a=0(a0)的距离为2,则2d0)的距离为2,则d=2;(4)若圆x2+(y-2)2=8上恰有四点到直线x-y+a=0(a0)的距离为2,则0d0,b0),所以f(x)=-abeax,所以f(0)=-ab,又f(0)=-1b,所以在x=0处的切线的方程为
11、y+1b=-abx,即ax+by+1=0.因为切线与圆x2+y2=1相切,所以圆x2+y2=1的圆心到切线的距离d=1a2+b2=1,即a2+b2=1,因为a0,b0,所以a2+b22ab,所以2(a2+b2)(a+b)2,所以a+b2,所以a+b的最大值是2.14.(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=4k2+4k2.由题设知4k2+
12、4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16,解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.15.C如图D 9-2-3,连接OA,OB,OP,则APO=12APB=6,m=|OA|=|PO|sinAPO=212=1,故选C.图D 9-2-316.B解法一由题意可得圆M的标准
13、方程为(x+1)2+y2=2.设P(a,a-3),则|PA|2=|PM|2-|MA|2=(a+1)2+(a-3)2-2=2(a-1)2+6,所以当a=1时,|PA|2取得最小值6,所以|PA|min=6,此时|PM|=22,SPAM=12|MA|PA|=12|PM|AB|2,即26=22|AB|2,解得|AB|=6,故选B.解法二因为|PA|2=|PM|2-|MA|2=|PM|2-2,所以当|PA|取得最小值时,|PM|取得最小值,此时直线PM与直线l垂直,则|PM|=|-1-0-3|2=42=22,|PA|=|PM|2-2=6,所以SPAM=12|MA|PA|=12|PM|AB|2,即26=
14、22|AB|2,解得|AB|=6,故选B.17.C由圆C1:x2+y2-kx-y=0和圆C2:x2+y2-2ky-1=0,可得两圆的公共弦所在的直线方程为k(x-2y)+(y-1)=0,联立x-2y=0,y-1=0,解得x=2,y=1,即点M(2,1),又点M在直线mx+ny=2上,所以2m+n=2.因为原点(0,0)到直线2x+y=2的距离d=222+12=255,所以m2+n2的最小值为255,故选C.18.D由题意得,A(3,0),圆M的圆心M(2,-3),所以|AM|2=(3-2)2+32=16-43.如图D 9-2-4,设H是BC的中点,则|AP|2=|AN|2-|NP|2=|AN|
15、2-|NC|2=(|AH|2+|NH|2)-(|CH|2+|NH|2)=|AH|2-|CH|2=(|AM|2-|MH|2)-(|MC|2-|MH|2)=|AM|2-|MC|2=12-43,所以|AP|为定值.在PBC中,设BC边上的高为h,则SPBC=12|BC|h,由于|BC|不变,则当PABC时,h最大,此时SPBC取得最大值,此时AP的方程为y=-33(x-3),即x+3y-3=0,故选D.图D 9-2-419.B双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线的方程为y=bax.由离心率e=ca=2得c2a2=4,即a2+b2a2=4,得ba=3,所以这条渐近线的方程为y=3x.由y=3x,(
16、x-2)2+y2=3消去y整理得4x2-4x+1=0,因为=16-44=0,所以渐近线y=3x与圆(x-2)2+y2=3只有一个公共点.由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3的公共点的个数为2,故选B.20.105解法一连接CA,CB,则|CA|=|CB|,连接CP,由|PA|=|PB|且|CA|=|CB|得AB的垂直平分线是直线CP,设圆心C到AB的距离为d(0d0,f(t)单调递增,当t(5,7)时,f(t)0,f(t)单调递减,所以f(t)max=f(5)=500,则PAB面积的最大值为105.解法二如图D 9-2-5,连接CA,CB,则|CA|=|CB|,连接PC,由|
17、PA|=|PB|且|CA|=|CB|,得AB的垂直平分线是直线CP.当AB经过点C时,PAB的面积S=12121=6.当AB在点C的左上方时,记直线PC与AB的交点为D,设ACD=,(0,2),则|AB|=2|AD|=12sin ,|CD|=6cos ,则PAB的面积S=12|AB|PD|=1212sin (6cos +1)=36sin cos+6sin ,则S=36cos2-36sin2+6cos =36cos 2+6cos =6(12cos2+cos -6),由S=0得cos =23(舍去cos =-34),且当0cos 23时,S0,S单调递减;当23cos 0,S单调递增,所以当cos
18、 =23时,S取得最大值,且Smax=361-(23)223+61-(23)2=105.综上,PAB面积的最大值为105.图D 9-2-521.(1)圆C的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=25-F,圆心C(4,3),半径为25-F,由圆C与圆O相外切知25-F+2=16+9,所以F=16.圆C:(x-4)2+(y-3)2=9,点P(4,1)在圆C内,弦MN过点P,Q是MN中点,则CQMN,所以点Q的轨迹是以CP为直径的圆,方程为(x-4)2+(y-2)2=1.(2)连接OC,线段OC与圆O的交点为A,联立y=34x与x2+y2=4,解得点A(85,65).若|AQ|=|AP|,则P,Q是
19、以点A为圆心,AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点,由(x-85)2+(y-65)2=(85-4)2+(65-1)2与(x-4)2+(y-2)2=1得3x+y-13=0,所以直线MN的方程为3x+y-13=0.点C(4,3)到直线MN的距离d=|12+3-13|10=210,|MN|=29-d2=22155.点A到直线MN的距离h=|245+65-13|10=710,所以AMN的面积S=12|MN|h=71086.22.(1)依题意知圆心C在y轴上,可设圆心C(0,b),圆C的方程为x2+(y-b)2=r2(r0). 因为圆C经过A,B两点,所以(74)2+(174-b)2=(-318)2+(33
20、8-b)2,即716+28916-172b+b2=3164+108964-334b+b2,解得b=4,进而可得r=22.所以圆C的方程为x2+(y-4)2=12.(2)当直线l的斜率不存在时,由l与C相切得l的方程为x=22或x=-22,此时直线l与C1交于P,Q两点,不妨设P在Q点上方,则P(22,22),Q(22,-22)或P(-22,22),Q(-22,-22),则OPOQ=0,所以OPOQ,满足题意.当直线l的斜率存在时,易知其斜率不为0,纵截距不为0,故可设直线l的方程为y=kx+m(k0,m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线l的方程与圆C1的方程联立,得y=kx+m,
21、x2+y2=1, 消去y,整理得(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0,则=4k2m2-4(1+k2)(m2-1)=4(k2-m2+1)0,即1+k2m2,x1+x2=-2km1+k2,x1x2=m2-11+k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2(m2-1)1+k2-2k2m21+k2+m2=m2-k21+k2,又OPOQ,所以OPOQ=0,即x1x2+y1y2=m2-11+k2+m2-k21+k2=0,故2m2=1+k2,满足0,符合题意.因为直线l:y=kx+m与圆C:x2+(y-4)2=12相切, 所以圆心C(0,4)到直线l的距离d
22、=|m-4|1+k2=22,可得m2-8m+16=1+k22, 故m2-8m+16=m2,得m=2,故1+k2=222,得k=7或k=-7,故直线l的方程为y=7x+2或y=-7x+2.综上,直线l的方程为x=22或x=-22或y=7x+2或y=-7x+2.23.-24由x2+y2-2x-6y+4=0,x+y+b=0,得2x2+2(b+2)x+b2+6b+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=-b-2,x1x2=b2+6b+42.因为AOB=90,所以OAOB,所以OAOB=x1x2+y1y2=0,即x1x2+(-x1-b)(-x2-b)=0,即2x1x
23、2+b(x1+x2)+b2=0,所以b2+6b+4+b(-b-2)+b2=0,解得b=-2,故直线l为x+y-2=0.易知圆C的圆心为(1,3),半径为6,故圆心到直线x+y-2=0的距离为|1+3-2|2=2,所以|AB|=26-2=4.【方法总结】挖掘几何图形的性质是求解有几何背景的问题的主要思路,如本题中利用AOB=90得到OAOB=0.24.1曲线C的方程可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=(x+6)2+(y-6)2,则d表示圆C上的点到点(-6,6)的距
24、离,则dmax=(2+6)2+(0-6)2+5=15,所以tmax=152-222-a=b,整理得a+1+b=4.所以1a+1+1b=14(1a+1+1b)(a+1+b)=14(1+ba+1+a+1b+1).又ba+1+a+1b2ba+1a+1b=2(当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号),所以1a+1+1b144=1,即1a+1+1b的最小值为1.【试题评析】本题初看非常抽象,但深入研讨将发现其是一道颇有思维价值的好题,将圆上的动点问题与基本不等式结合求最值,难度适中.25.32n-1圆Cn:x2+(y-an)2=rn2与直线y=22x相切,所以圆心(0,an)到切线的距离dn=an3=rn,所以an=3rn,因为r1=1,所以a1=3 .圆Cn与圆Cn+1外切,所以|CnCn+1|=an+1-an=3(rn+1-rn)=rn+1+rn,所以rn+1rn=2,数列rn是以1为首项,2为公比的等比数列,所以rn=2n-1.【解题关键】利用直线与圆相切和圆与圆外切,构造等比数列rn是本题的解题关键.
