1、第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线的标准方程 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程(重点)3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1双曲线的定义距离的差的绝对值点F1,F2两焦点间定课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴y 轴标准方程x2a2y2b21(a0，b
2、0)y2a2x2b21(a0，b0)图形课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c 的关系式c2a2b2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示 双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2c2a2，即 c2a2b2，其中 ca，cb，a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中 b2a2c2，即 a2b2c2，其中 ab0，ac，c 与 b 的大小关系不确定思考 1：双曲线中 a，b，c 的关系如何？与椭圆中 a，b，c 的关系有何不同？课时
3、分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考 2：如何确定双曲线标准方程的类型？提示 焦点 F1，F2 的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若 x2 的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2 的系数为正，则焦点在 y 轴上课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程x2a2y2b21 中，a0，b0 且 ab.()(3)双曲线标准方程中，a，b 的大小关系是 ab.()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返
4、首页提示(1)差的绝对值是常数，且 02a|F1F2|才是双曲线(2)a 与 b 大小关系不定，a 和 b 相等时叫等轴双曲线(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2双曲线x210y221 的焦距为()A3 2 B4 2 C3 3 D4 3D 解 a210，b22，c2a2b212，c2 3，2c4 3，故选 D.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知双曲线的 a5，c7，则该双曲线的标准方程为_.【导学号：33242148】x225y2241 或y225x2241 b2c2a2492524，双曲线方程为x225y2241 或y225x2
5、241.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难双曲线定义的应用探究问题1如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F1F2|”？提示：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段 F1F2 的中垂线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2若|MF1|MF2|F1F2|，则动点 M 的轨迹是什么？提示：(1)定义中距离的差要加绝对值，
6、否则只为双曲线的一支设 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点 M 在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点 M 在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点 M 的轨迹为双曲线；若动点 M 在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 已知 F1，F2 是双曲线x29y2161 的两个焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2 的面积.【导学号：33242149】思路探究 根据双曲线的定义及余弦定理求出F1PF2 即可课时分层作业当堂
7、达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 由x29y2161 得 a3，b4，c5.由双曲线定义及 P 是双曲线左支上的点得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，又|PF1|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100，由余弦定理得课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|0，F1PF290，SF1PF212|PF1|PF2|16.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点 P到焦
8、点 F1 的距离为 10，求点 P 到焦点 F2 的距离解 由x29y2161 得 a3，b4，c5，由双曲线定义得|PF1|PF2|6，即|PF1|PF2|6，|PF2|106，点 P 到焦点 F2 的距离为 4 或 16.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(变换条件)若把本例条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF2|25”，其他条件不变，试求F1PF2 的面积解 由x29y2161 得 a3，b4，c5，由|PF1|PF2|25，可设|PF1|2k，|PF2|5k.由|PF2|PF1|6 可得 k2，|PF1|4，|PF2|10，由余弦定理得课时分层
9、作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|16100100241015，sinF1PF22 65，SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF2124102 65 8 6.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1，F2 连接而成的三角形PF1F2 称为焦点三角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2，因|F1F2|2c，所以有(1)定义：|r1r2|2a.(2)余弦公式：4c2r21r222r1r2cos.(3)面积公式：S PF1F
10、212r1r2sin.一般地，在 PF1F2 中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页求双曲线的标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点 A1，4 103；(2)经过点(3,0)，(6，3)思路探究 先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a，b 的方程组求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为x216y2b21(b0)，把 A 点的坐标代入，得 b21609 1615 0，不符合题意；当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为y216x2b21(b
11、0)，把 A 点的坐标代入，得 b29，所求双曲线的标准方程为y216x291.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，9m01，36m9n1，解得m19，n13，所求双曲线的标准方程为x29y231.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)求双曲线标准方程的两个关注点课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能设方程：根据焦点位置，设
12、其方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)，焦点位置不定时，亦可设为 mx2ny21(mn0)寻关系：根据已知条件列出关于 a，b，c(m，n)的方程组得方程：解方程组，将 a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程(1)c 6，经过点 A(5,2)，焦点在 x 轴上；(2)与椭圆x225y251 共焦点且过点(3 2，2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)设双曲线标准方程为x2
13、a2y2b21(a0，b0)，c 6，b2c2a26a2.由题意知25a24b21，25a246a21，解得 a25 或 a230(舍)b21.双曲线的标准方程为x25y21.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)椭圆x225y251 的焦点坐标为(2 5，0)，(2 5，0)依题意，则所求双曲线焦点在 x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则a2b220.又双曲线过点(3 2，2)，18a22b21.a2202 10，b22 10.所求双曲线的标准方程为x2202 10 y22 101.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究
14、攻重难返首页与双曲线有关的轨迹问题 如图 2-2-8，在ABC 中，已知|AB|4 2，且三内角 A，B，C满足 2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程.【导学号：33242150】图 2-2-8课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2 2，0)，B(2 2，0).由正弦定理，得 sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R(R 为ABC 的外接圆半径)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2si
15、n Asin C2sin B，2ac2b，即 bac2，从而有|CA|CB|12|AB|2 2|AB|.由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点)a 2，c2 2，b2c2a26，即所求轨迹方程为x22y261(x 2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.课时分层作业当堂达标固双基自主预
16、习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2如图 2-2-9 所示，已知定圆 F1：(x5)2y21，定圆 F2：(x5)2y242，动圆 M 与定圆 F1，F2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程图 2-2-9课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 圆 F1：(x5)2y21，圆心 F1(5,0)，半径 r11；圆 F2：(x5)2y242，圆心 F2(5,0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的左支，且 a32，c5，于是b2c2a2914.动圆
17、圆心 M 的轨迹方程为x294y29141x32.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1若点M在双曲线x216y241上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF2|等于()【导学号：33242151】A2 B4 C8 D12B 双曲线中 a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以 3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2“ab0”是“方程 ax2by2c 表示双曲线”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件
18、D既不充分也不必要条件A 当方程表示双曲线时，一定有 ab0，反之，当 ab0 时，若 c0，则方程不表示双曲线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3若方程 x2m1y2m243 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是()【导学号：33242152】A(1,2)B(2，)C(，2)D(2,2)C 由题意，方程可化为y2m24 x21m3，m240，1m0，解得：m2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知动圆 M 与圆 C1：(x3)2y29 外切且与圆 C2：(x3)2y21内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是_课时分层作业当堂达
19、标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页x24y251(x2)设动圆 M 的半径为 r.因为动圆 M 与圆 C1 外切且与圆 C2 内切，所以|MC1|r3，|MC2|r1.相减得|MC1|MC2|4.又因为 C1(3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|64，所以点 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的双曲线的右支，且有 a2，c3.所以 b25，所求的轨迹方程为x24y251(x2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点 P3，154，Q163，5 且焦点在坐标轴上；(2)与双曲线x216y241 有公共焦点，且过点(3
20、 2，2).【导学号：33242153】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)设双曲线的标准方程为 mx2ny21(mn0)，双曲线过 P3，154，Q163，5，9m22516 n1，2569 m25n1，解得m 116，n19.所求双曲线方程为y29x2161.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设双曲线方程为x2a2y2b21.由题意易求得 c2 5.又双曲线过点(3 2，2)，3 22a24b21.又a2b2(2 5)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为x212y281.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十二）点击上面图标进入 谢谢观看
