1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修1 第四章 函数应用成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 函数应用 第四章 第四章 函数应用成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 第四章 1 函数与方程1.2 利用二分法求方程的近似解第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 课堂典例讲练 2易错疑难辨析 3课时作业 4课前自主预习 1第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 课前自主预习第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 在一档娱乐节目中，主持
2、人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手某次竞猜的物品为价格在800元1200元之间的一款手机，选手开始报价：选手：1000.主持人：低了选手：1100.主持人：高了第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 选手：1050.主持人：祝贺你，答对了问题1：主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？问题2：选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 1.二分法每次取区间的中点，将区间_，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法2函数零点的性质对于图像
3、是连续不间断的函数，其函数零点具有下列性质：(1)当函数图像通过零点(不是二重零点)时，其函数值的符号_(填“改变”或“不改变”)(2)在相邻的两个零点之间所有的函数值保持_(填“同号”或“异号”)一分为二改变同号第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 1.已知函数yf(x)的图像是连续不断的，有如下的对应值表：则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个C4个D5个x123456y123.5621.457.8211.4553.76128.88导学号18160873第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 答
4、案 B解析 f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，至少有3个零点，分别在2,3，(3,4，(4,5上，故选B.第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 2函数yx2bx1有二重零点，则b的值为()A2B2C2D不存在答案 C解析 yx2bx1有二重零点，b240，即b2，故选C.导学号18160874第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 3下列函数中能用二分法求零点的是()答案 C解析 从图像上看，A的函数无零点；B、D中的函数都是不变号零点，不能运用二分法故选C.导学号18160875第四章 1 1
5、.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 4用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点2.5，那么下一个有根区间是_答案 2,2.5解析 由计算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，f(2)f(2.5)0，所以下一个有根区间是2,2.5导学号18160876第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 5函数f(x)x2axb有零点，但不能用二分法求出，则a、b的关系是_答案 a24b0解析 二次函数有零点，但不能用二分法求出，则有a241b0，即a24b0.导学号18160877第四章 1 1.2 成才之路
6、 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 课堂典例讲练第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 判断下列函数是否有变号零点：(1)yx25x14；(2)yx2x1；(3)yx4x310 x2x5；(4)yx418x281.函数零点类型的判断思路分析 将函数分解成一次因式之积求函数零点 判断零点两侧函数值符号 得出结论导学号18160878第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规范解答(1)yx25x14(x2)(x7)又x0，2x7 时，y7 时，y0.函数有两个零点，都是变号零点(2)yx2x1(x12)2340，
7、此函数没有零点(3)令 f(x)x4x310 x2x5，f(0)50，第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 f(5)54531052552500并不一定代表f(x)在a，b上没有零点2若给出函数图像，主要去看图像是否与x轴有交点，图像是否穿过了x轴来判定零点类型第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案 A解析 A、B、C、D四个选项中只有A的图像没有穿过x轴，此零点属不变号零点，不能用二分法求解.导学号18160879第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程
8、学习指导 北师大版 数学 必修1 二分法求函数零点的近似值试判断方程x33x50在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01)思路分析 可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在(0,3)内有实数解，然后再利用二分法求出其近似值导学号18160880第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规范解答 设函数f(x)x33x5，由于f(0)50，因此f(0)f(3)0，所以f(x)在(0,3)内至少存在一个零点，即原方程在(0,3)内必有实数解以下用二分法求方程在(0,3)内的近似解由于f(1)10，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故
9、可取区间(1,2)为计算的初始区间用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 计算次数 左端点 右端点 112211.5311.2541.1251.2551.1251.187561.1251.1562571.1406251.1562581.14843751.1562591.152343751.15625101.152343751.154296875由上表可知，区间1.15234375,1.154296875中的每一个数都精确到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精确到0.01的近似解第四章 1
10、1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规律总结 二分法求解步骤(1)确定区间a，b验证f(a)f(b)0，初始区间的选择不宜过大，否则将增加运算的次数；(2)求区间a，b的中点c.(3)计算f(c)：若f(c)0，则c就是函数的零点 若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0a，c)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0c，b)(4)判断a，b的两端的近似值是否相等且满足要求的精确度，若是，得零点的近似解；否则，重复(2)(4)步特别注意要运算彻底第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 用二分法求函数yx33的一个正零点(精
11、确到0.01)分析 选定区间1,2用二分法逐次计算验证区间两端点值精确到0.01后相等取正零点解析 记f(x)yx33，由于f(1)20，因此可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下次数左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值第1次1225第2次121.50.375第3次1.251.04691.50.375导学号18160881第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 因为区间1,44140625,1.443359375内的所有值，若精确到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值.次数左端点左端点函
12、数值右端点右端点函数值第4次1.3750.40041.50.375第5次1.43750.02951.50.375第6次1.43750.02951.468750.1684第7次1.43750.02951.4531250.06838第8次1.43750.02951.44531250.0192第9次1.441406250.00531.44531250.0192第10次1.441406250.00531.4433593750.006931第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 函数零点的综合应用(1)指出方程x32x10的正根所在的大致区间；(2)求证：方程x33x
13、10的根一个在区间(2，1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)思路分析 解答本题的关键是寻找合适的a、b使得f(a)f(b)0.导学号18160882第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规范解答(1)方程x32x10，即x32x1，令F(x)x32x1，f(x)x3，g(x)2x1在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)和g(x)的图像如图，显然它们 在第一象限只有1个交点，两函数图像交点的横坐标就是方程的解又F(1)20，方程的正根在区间(1,2)内第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 (2)证明：
14、令G(x)x33x1，它的图像一定是连续的，又G(2)86110，方程x33x10的一根在区间(2，1)内同理可以验证G(0)G(1)1(1)10，G(1)G(2)(1)330，方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 规律总结 1.求函数零点所在区间时，若F(x)0对应函数yF(x)比较简单，其图像容易画出，就可以观察图像与x轴相交的点的位置，交点横坐标就是方程F(x)0的解，从而得到F(x)0的根所在大致区间；若函数yF(x)的图像不容易画出，则将F(x)分解为f(x)g(x)的形式，且yf(x)与yg(x)较容易
15、画出图像，它们交点的横坐标就是F(x)0的解，这种方法要求作图要准确，否则得不出正确答案2对于连续函数，可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号若异号，则方程的解在以这两个数为端点的区间内若同号，再需要利用二分法多次尝试第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 将(1)中的方程改为“x5x10”时，求其一个正根所在的大致区间解析 f(1)1，f(2)29，f(1)f(2)0，即x5x10的一个正根所在的区间为(1,2)导学号18160883第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 易错疑难辨析第四章 1 1.2 成才之路 高
16、中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 用二分法求方程x250的一个非负近似解(精确到0.1)误解 令f(x)x25，因为f(2.2)2.2250.160，所以f(2.2)f(2.4)0，导学号18160884第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 因为f(2.2)f(2.3)0，因为f(2.2)f(2.25)0，所以x02.2,2.25，所以原方程的非负近似解为2.2.辨析 本题产生错解的原因是对精确度的理解不正确，2.25取近似值为2.3.第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 正解 令f(x)x25，因为f(2.
17、2)0.160，所以f(2.2)f(2.4)0，因为f(2.2)f(2.3)0，因为f(2.2)f(2.25)0，所以x02.2,2.25，第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 同理可得x02.225,2.25，x02.225,2.2375，因为2.23752.2250.01250.1，区间2.225，2.2375的左、右端点精确到0.1所取的近似值2.2，所以2.2就是所给方程的一个非负近似解规律总结 用二分法求函数的零点，首先是大致区间的确定，使区间长度尽量小，否则会增加运算量虽然此类问题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性另外，在计算到第n步时，区间an，bn的长度应小于精确度第四章 1 1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修1 课时作业（点此链接）
