1、本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()ABCD解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现可折成正四面体，不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体解析 答案 C答案 2在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A.23 B.76 C.45 D.56解析 棱长
2、为 1的正方体的体积为 1,8个三棱锥的体积为 8131212121216，所以剩下的几何体的体积为 11656.解析 答案 D答案 3.已知水平放置的ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 BOCO1，AO 32，那么原ABC 的面积是()A.3B2 2C.32D.34答案 A答案 解析 由斜二测画法的原则可得，BCBC2，AO2AO2 32 3，由图易得 AOBC，SABC122 3 3，故选 A.解析 4若 l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3 共面Dl1，l2，l
3、3 共点l1，l2，l3 共面答案 B答案 解析 当 l1l2，l2l3 时，l1 也可能与 l3 相交或异面，故 A 不正确；l1l2，l2l3l1l3，故 B 正确；当 l1l2l3 时，l1，l2，l3 未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确；l1，l2，l3 共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确解析 5如图所示，平面 平面，A，B，AB 与两平面，所成的角分别为4和6.过 A，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为 A，B，则ABAB等于()A21B31 C32D43答案 A答案 解析 如图，由已知得 AA面，ABA6，BB面，BAB
4、4.设 ABa，则 BA 32 a，BB 22 a，在 RtBAB中，AB12a，ABAB21.解析 6用 m，n 表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是()A若 mn，n，则 mB若 m，n，则 mnC若 mn，n，则 mD若 m，n，则 mn解析 若 mn，n，则 m 或 m，故排除 A；若 m，n，则 mn 或 m，n 异面，故排除 B；若 mn，n，则不能得出 m，例如，mn，n，m，则 m 与 不垂直，故排除 C.故选 D.解析 答案 D答案 7在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下面说法正确的是()AA1C1ADBD1C1ABCAC1 与 DC 成 45角DA1C1
5、与 B1C 成 60角答案 D答案 解析 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 A1C1与 AD 所成的角为 45；直线 D1C1 与直线 AB 平行；异面直线 AC1与 DC 所成的角的大小为C1AB 的大小，其正切值为BC1AB 21，所以异面直线 AC1 与 DC 所成的角不是 45；连接 A1D，DC1，因为 A1DB1C，所以异面直线 A1C1与 B1C所成的角就是直线 A1C1与直线 A1D 所成的角而A1DC1 是等边三角形，所以C1A1D60，即 A1C1 与 B1C 所成的角为 60.所以答案选 D.解析 8如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE
6、 相交于点 G，已知ADE是ADE 绕边 DE 旋转过程中的一个图形现给出下列命题：恒有直线 BC平面 ADE；恒有直线 DE平面 AFG；恒有平面 AFG平面ADE.其中正确命题的个数为()A0B1 C2D3答案 D答案 解析 由 BCDE知，恒有直线 BC平面ADE，正确；由 DEAG，DEFG 知，恒有直线 DE平面 AFG，正确；由直线 DE平面 AFG，DE平面 ADE 知，恒有平面 AFG平面 ADE，正确解析 9如图，在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 6 的正三角形，SASBSC15，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于点 D，E，F，H，且 D，E 分别
7、是 AB，BC 的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为()A.452B.45 32C45D45 3答案 A答案 解析 取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SGAC，BGAC，故 AC平面 SGB，所以 ACSB.因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD，所以 SBHD.同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，F 也分别为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊12AC 綊 DE，所以四边形 DEFH 为平行四边形又 ACSB，SBHD，DEAC，所以 DEHD，所以四边形 DEFH 为矩形，其面积
8、SHFHD12AC 12SB 452.解析 10PA，PB，PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60，那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是()A.12 B.22 C.33 D.63答案 C答案 解析 构造正方体如图所示，连接 AB，过点 C 作 CO平面 PAB，垂足为 O，易知 O 是正三角形 ABP 的中心，连接 PO 并延长交 AB 于 D，于是CPO 为直线 PC 与平面 PAB 所成的角设 PCa，则 PD 3a2，故 PO23PD 33 a，故 cosCPOPOPC 33.故选 C.解析 11已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA平面
9、ABC，ABBC，AB1，BC 2，若球 O 的表面积为 4，则 SA()A.22B1 C.2D.32解析 根据已知把 SABC 补成如图所示的长方体因为球 O 的表面积为 4，所以球 O 的半径 R1,2R SA2122，解得 SA1，故选 B.解析 答案 B答案 12在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23B.43C.53D2答案 C答案 解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面
10、圆的半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆的半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV圆柱V圆锥AB2BC13CE2DE1221312153，故选 C.解析 第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上)13一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB 与 CM 所成的角为 60；EF 与 MN 是异面直线；MNCD.以上结论中正确结论的序号为_答案 答案 解析 把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示因为 ABMC，MCEF，所以 ABEF，故正确，错误；EF
11、与 MN 是异面直线，故正确；易知 MNCD，故错误故填.解析 14如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 4，D 为 BC 的中点，沿 AD把ADC 折叠到ADC处，使二面角 BADC为 60，则折叠后二面角 ABCD 的正切值为_答案 2答案 解析 易知BDC即为二面角 BADC的平面角，则BDC60，所以BDC为等边三角形取 BC的中点 M，连接 DM，AM，易知DMBC，AMBC，所以二面角 ABCD 的平面角为AMD.在等边三角形 ABC 中，易知 AD2 3，在等边三角形 BDC中，易知 DM 3，所以 tanAMDADDM2.解析 15已知矩形 ABCD 中，AB3，BCa，若
12、PA平面 AC，在 BC 边上取点 E，使 PEDE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是_答案 a6答案 解析 如图所示，连接 AE，要使 PEDE，由于 DEPA，则需 DEAE.要使在矩形 ABCD 中，AED90，满足条件的 E 点有两个，则需以 AD 为直径的圆与 BC 相割圆心到 BC 边的距离 dR，即 36.解析 16如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为 20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总
13、高度为_cm.答案 29答案 解析 设上、下圆柱的半径分别是 r cm，R cm，高分别是 h cm，H cm.由水的体积不变得 R2Hr2(20H)r2hR2(28h)，又 r1，R3，故Hh29.即这个简单几何体的总高度为 29 cm.解析 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)有一根长为 3 cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC3
14、 cm，AB4 cm，点 A、点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度AC AB2BC25 cm，故铁丝的最短长度为 5 cm.答案 18.(本小题满分 12 分)如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积解 由题意知，所成几何体的表面积圆台下底面面积圆台的侧面积半球面的面积又 S 半球面124228(cm2)，S 圆台侧(25)5224235(cm2)，S 圆台下底5225(cm2)，所以所得几何体的表面积为S 半球面S 圆台侧S 圆台下底8352568(cm2)答案 又 V 圆台3(2
15、22552)452(cm3)，V 半球1243 23163(cm3)，所以所得几何体的体积为V 圆台V 半球52163 1403(cm3)答案 19(本小题满分 12 分)如图，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA1平面 ABCD，DAB60，ADAA1，F 为棱 AA1 的中点，M 为线段 BD1 的中点求证：(1)MF平面 ABCD；(2)MF平面 BDD1B1.证明(1)如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，答案 OM 綊12DD1.又 DD1 綊 A1A，OM 綊12A1A.又 AF12A1A，OM 綊 AF，四边形 MOAF 是平行四边形，答案 MFC
16、A.又 CA平面 ABCD，MF平面 ABCD，MF平面 ABCD.(2)底面 ABCD 是菱形，ACBD.又 B1B平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACB1B，而 BDB1BB，AC平面 BDD1B1.又 MFAC，MF平面 BDD1B1.答案 20(本小题满分 12 分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABCA1B1C1 中，F，F1 分别是 AC，A1C1 的中点求证：(1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1.证明(1)如图所示，连接 FF1，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1C1綊 AC，BB1 綊 CC1.F，F1 分别
17、是 AC，A1C1的中点，C1F1 綊 AF 綊12AC，FF1 綊 CC1 綊 BB1，答案 四边形 AFC1F1 和四边形 BFF1B1 均为平行四边形，B1F1BF，AF1C1F.B1F1平面 C1BF，BF平面 C1BF，B1F1平面 C1BF.同理 AF1平面 C1BF，又 B1F1AF1F1，平面 AB1F1平面 C1BF.答案 (2)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 A1B1C1，又 B1F1平面 A1B1C1，B1F1AA1.又 B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1.答案
18、21(本小题满分 12 分)如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点将ABE沿 BE 折起到图中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE.(1)证明：CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求a 的值解(1)证明：在图中，因为 ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，BAD2，所以 BEAC.即在图中，BEA1O，BEOC，又 A1OOCO，从而 BE平面 A1OC.因为 BC 綊12AD 綊 ED，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 C
19、DBE，所以 CD平面 A1OC.答案 (2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE，又由(1)可得 A1OBE，所以 A1O平面 BCDE.即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高由图知，A1O 22 AB 22 a，平行四边形 BCDE 的面积 SBCABa2，从而四棱锥 A1BCDE 的体积为V13SA1O13a2 22 a 26 a3.由 26 a336 2，得 a6.答案 22(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD3，PAD 是等边三角形，F 为 AD 的中点，PDBF.(1)求证：ADPB
20、；(2)若 E 在线段 BC 上，且 EC14BC，能否在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG平面 ABCD？若存在，求出三棱锥 DCEG 的体积；若不存在，请说明理由解(1)证明：连接 PF，PAD 是等边三角形，PFAD.底面 ABCD 是菱形，BAD3，BFAD.又 PFBFF，AD平面 BFP，又 PB平面 BFP，ADPB.答案 (2)能在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG平面 ABCD.由(1)知 ADBF，PDBF，ADPDD，BF平面 PAD.又 BF平面 ABCD，平面 ABCD平面 PAD，又平面 ABCD平面 PADAD，且 PFAD，PF平面 ABCD.连接 CF 交 DE 于点 H，过 H 作 HGPF 交 PC 于 G，GH平面 ABCD.答案 又 GH平面 DEG，平面 DEG平面 ABCD.ADBC，DFHECH，CHHFCEDF12，CGGPCHHF12，GH13PF 33，VDCEGVGCDE13SCDEGH1312DCCEsin3GH 112.答案
