1、核心概念掌握 知识点一 空间中两条直线的位置关系1空间两条直线的位置关系有三种：、和 01 平行直线02 相交直线03 异面直线2分类(1)从有无公共点的角度来看，可分为两类直线有且仅有一个公共点：相交直线无公共点平行直线异面直线(2)从是否共面的角度来看，可分为两类直线共面直线相交直线平行直线不共面直线：异面直线知识点二 直线与直线垂直如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直线 aa，bb，我们把直线 a与 b所成的角叫做 (或夹角)01 异面直线 a 与 b 所成的角如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相 直线 a 与直线 b 垂直，记作 .当两
2、条直线 a，b 相互平行时，我们规定它们所成的角为 .所以空间两条直线所成角 的取值范围是 .02 垂直03 ab04 005 090知识点三 直线与平面垂直的定义及画法1定义：如果直线 l 与平面 内的 ，我们就说直线l 与平面 互相垂直，记作 ，直线 l 叫做平面 的 ，平面 叫做直线 l 的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足01 任意一条直线垂直02 l03 垂线2画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直如图所示3过一点垂直于已知平面的直线 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的 ，的长度叫做这个点到该平
3、面的距离04 有且只有一条05 垂线段06 垂线段知识点四 直线与平面垂直的判定定理文字语言：如果一条直线与一个平面内的 ，则该直线与此平面垂直符号语言：la，lb，a，b，abPl.图形语言：如图所示01 两条相交直线垂直知识点五 直线与平面所成角的定义1定义：，但 ，这条直线叫做这个平面的斜线，叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，与平面的交点为垂足，叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和 ，叫做这条直线和这个平面所成的角，其范围是 01 一条直线和一个平面相交02 不与这个平面垂直03 斜线和平面的交点04 垂线05 过垂足和斜足的直线06 它在平面上的射影所成的角07(0，90
4、)2规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于 .因此，直线与平面所成的角的取值范围是 08 9009 010 0，901直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若 ab，a，则 b；若，a，则 a.2线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是 90；(2)线面垂直，则线线垂直3求线面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等体积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1
5、)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直()(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直()(3)若直线与平面所成的角为 0，则直线与平面平行()2做一做(1)直线 l 与平面 内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面 的位置关系是()A平行B垂直C在平面 内D无法确定(2)过平面外一点作该平面的垂线有_条(3)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，不能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)平行四边形的两条对角线；梯形的两条边；圆的两条直径；正六边形的两条边(4)AB 是平面 的斜线段，其长为 a，它在平面 内的射影 AB 的
6、长为b，则垂线 AA 的长为_(5)如图所示，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PAAB，则直线 PB与平面 ABC 所成的角为_答案(1)D(2)1(3)(4)a2b2(5)45答案 核心素养形成 题型一异面直线垂直的判定及异面直线所成的角例 1 如图，已知 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，E，F 分别是AA1，AB 的中点(1)哪些棱所在的直线与直线 EF 垂直？(2)求异面直线 C1D1 与 EF 所成的角解(1)AD，BC，A1D1，B1C1 所在的直线与直线 EF 垂直(2)ABDC，DCD1C1，ABD1C1，EFA 是异面直线 C1D1与 EF 所成的角E
7、FA45，异面直线 C1D1 与 EF 所成的角为 45.答案 1.判断异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交(2)平面内一点与平面外一点所确定的直线和这个平面内不过该点的直线异面2求异面直线所成角的一般步骤(1)平移法找出合适的角(2)求角(3)结论：090.(1)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，l平面 A1B1C1D1，且 l 与 B1C1不平行，则下列结论一定不可能的是()Al 与 AD 平行Bl 与 AB 异面Cl 与 CD 所成的角为 30 Dl 与 BD 垂直(2)如图所示，P 是平面 ABC 外一点，PA4，BC2 5，D，E 分别为PC，AB 的中点，且
8、 DE3.求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小答案(1)A(2)见解析答案 解析(1)假设 lAD，则由 ADBCB1C1，可得 lB1C1，这与“l 与B1C1 不平行”矛盾，所以 l 与 AD 不平行(2)如图，取 AC 的中点 F，连接 DF，EF.解析 在PAC 中，D 是 PC 的中点，F 是 AC 的中点，DFPA.同理 EFBC，DFE(或DFE 的补角)为异面直线 PA 与 BC 所成的角在DEF 中，DE3，又 DF12PA2，EF12BC 5，DE2DF2EF2.DFE90，即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90.解析 题型二直线与平面垂直的定义例 2 下列命题中
9、正确的个数是()若直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l；若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l；若直线 l 不垂直于，则 内没有与 l 垂直的直线；若直线 l 不垂直于，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直A0 B1 C2 D3解析 当 l 与 内的无数条直线垂直时，若这无数条直线为平行直线，则 l 与 不一定垂直，故错误；当 l 与 内的一条直线垂直时，不能保证 l与 垂直，故错误；当 l 与 不垂直时，l 可能与 内的无数条直线垂直，故错误；正确故选 B.解析 答案 B答案 直线与平面垂直的定义的理解直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质是判定，指它是判定直线与平面
10、垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l，ala”这是证明线线垂直的一种方法设 l，m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若 lm，m，则 l B若 l，lm，则 mC若 l，m，则 lm D若 l，m，则 lm答案 B答案 解析 对于 A，由 lm 及 m，可知 l 与 的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故 A 错误；B 正确；对于 C，l 与 m 可能平行或异面，故 C错误；对于 D，l 与 m 的位置关系为平行、异面或相交，故 D 错误故选 B.解析 题型三直线与平面垂直的证明例 3 如图，四棱锥 SA
11、BCD 的底面是矩形，SA底面 ABCD，E，F分别是 SD，SC 的中点求证：(1)BC平面 SAB；(2)EFSD.证明(1)四棱锥 SABCD 的底面是矩形，ABBC.SA平面 ABCD，BC平面 ABCD，SABC.又 SAABA，BC平面 SAB.(2)由(1)知 BC平面 SAB.同理，CD平面 SAD.E，F 分别是 SD，SC 的中点，EFCD，EF平面 SAD.又 SD平面 SAD，EFSD.解析 应用线面垂直判定定理的注意事项(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的
12、(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直即“la，lb，a，b，abAl.”如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 BB1 的中点，O 是底面正方形 ABCD 的中心，求证：OE平面 ACD1.证明 如图，连接 AE，CE，D1O，D1E，D1B1.设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，易证 AECE.因为 AOOC，所以 OEAC.在正方体中易求出：D1O DD21DO2a222 a2 62 a，答案 OE BE2OB2a2222 a2 32 a，D1E D1B21B1E2 2a2a2232a.因为 D1O2OE2D1E2，所以 D
13、1OOE.因为 D1OACO，D1O平面 ACD1，AC平面 ACD1，所以 OE平面 ACD1.答案 题型四直线与平面所成的角例 4 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值解 由图所示，取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM，因为 E 是 DD1的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，所以 EMAD.又在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD平面 ABB1A1，所以 EM平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影，EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1所成的角
14、答案 设正方体的棱长为 2，则 EMAD2，BE 2222123.于是在 RtBEM 中，sinEBMEMBE23，即直线 BE 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值为23.答案 条件探究 在本例中，若求直线 BE 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值，又如何求解？解 平面 ABCD平面 A1B1C1D1，BE 与平面 ABCD 所成角与所求角相等连接 BD，则EBD 即为直线 BE 与平面 ABCD 所成的角设正方体的棱长为 2，则在 RtBDE 中，sinEBDDEBE13，即直线 BE 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为13.答案 求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找
15、)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，(1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值；(2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角解(1)直线 A1A平面 ABCD，A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角，设 A1A1，则 AC 2，tanA1CA 22.(2)连接 A1C1 交 B1D1 于 O，在正方形 A1
16、B1C1D1 中，A1C1B1D1，BB1平面 A1B1C1D1，A1C1平面 A1B1C1D1，答案 BB1A1C1，又 BB1B1D1B1，A1C1平面 BDD1B1，垂足为 O.A1BO 为直线 A1B 与平面 BDD1B1所成的角，在 RtA1BO 中，A1O12A1C112A1B，A1BO30.即 A1B 与平面 BDD1B1所成的角为 30.答案 随堂水平达标 1若 a，b 是两条异面直线，则下列说法错误的是()A过直线 a 可以作一个平面并且只可以作一个平面 与直线 b 平行B过直线 a 至多可以作一个平面 与直线 b 垂直C存在唯一一个平面 与直线 a，b 等距D可能存在平面
17、与直线 a，b 都垂直答案 D答案 解析 a，b 是两条异面直线，把直线 b 平移，与直线 a 相交，确定一个平面，因此经过直线 a 只能作出一个平面平行于直线 b，故 A 正确；只有 a，b 垂直时才能作出一个平面 与直线 b 垂直，否则过直线 a 不可能作出一个平面 与直线 b 垂直，故 B 正确；C 显然正确；若存在平面 与直线 a，b都垂直，则可得出 ab，与 a，b 异面矛盾，故 D 错误故选 D.解析 2已知两条直线 m，n，两个平面，给出下列四个说法：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn.其中正确说法的序号是()A B C D答案 C答案 解析 可由直线与平面垂直的
18、定义和判定推证根据中条件可知，m 与 n 平行或异面，所以错误中由 mn，m，可知 n 或 n，或 n 与 相交，故错误，所以正确，选 C.解析 3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与 AD1 垂直的平面是()A平面 DD1C1CB平面 A1DB1C平面 A1B1C1D1D平面 A1DB解析 由题意知 A1B1平面 ADD1A1，AD1平面 ADD1A1，A1B1AD1，又 A1DAD1，A1B1A1DA1，AD1平面 A1DB1，故选 B.解析 答案 B答案 4如图，如果 MC菱形 ABCD 所在的平面，那么 MA 与 BD 的位置关系是()A平行B垂直相交C垂直异面D相交但不垂直答案
19、 C答案 解析 连接 AC 交 BD 于 O，ABCD 为菱形，ACBD.又 MC平面 ABCD，BD平面 ABCD，BDMC.又 MCACC，BD平面 AMC.又 AM平面 AMC，BDAM，MA 与 BD 异面垂直解析 5如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PACD，PA1，PD 2.(1)求证：PA平面 ABCD；(2)求四棱锥 PABCD 的体积解(1)证明：因为四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA1，PD 2，所以 PD2PA2AD2，所以 PAAD，又 PACD，ADCDD，所以 PA平面 ABCD.(2)因为四棱锥 PABCD 的底面积为 1，PA平面 ABCD，所以四棱锥 PABCD 的高为 PA1，所以四棱锥 PABCD 的体积为13.答案 课后课时精练 点击进入PPT课件
