1、解题思维4高考中结构不良试题的提分策略1.在b1+b3=a2,a4=b4,S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求出k的值;若k不存在,说明理由.设等差数列an的前n项和为Sn,bn是等比数列,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得SkSk+1且Sk+1Sk+1且Sk+10)且a10,又a1=a2-d=-130,所以存在满足题意的k,且k=4.若选择条件,则a4=b4=27,由a5=-1得d=-280,所以满足题意的k不存在.若选择条件,则S5=5(a1+a5)2=-25,a1=-90.所以满足题意的k存在,且k=4.2.由sinAcosA=sin
2、B+sinCcosB+cosC,得sin AcosB+sinA cos C=cos AsinB+cosAsinC,sinAcosB-cos AsinB=cos AsinC-sin AcosC,所以sin(A-B)=sin(C-A).因为A,B,C(0,),所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=3.(1)ABC还同时满足条件.理由如下:若ABC同时满足条件,则由正弦定理得sin B=bsinAa=5371,这不可能,所以ABC不能同时满足条件,若ABC同时满足条件,则ABC的面积S=12bcsin A=12b832=103,所以b=5,与条件b=10矛盾,此时可求得a=7或a=-7(舍去)
3、.所以ABC还同时满足的三个条件为.(2)在ABC中,由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=23.因为C=23-B,所以b=23sin B,c=23sin(23-B).所以L=a+b+c=3+23sin B+sin(23-B)=6(32sin B+12cos B)+3=6sin(B+6)+3,因为B(0,23),所以B+6(6,56),sin(B+6)(12,1,所以ABC周长L的取值范围为(6,9.3.(1)CDAD,CDBD,ADBD=D,CD平面ABD,AB平面ABD,CDAB.又M,E分别为AC,BC的中点,MEAB,CD ME.(2)方案一:选择条件.在题图4-1所示的AB
4、C中,由tan 2B=-43=2tanB1-tan2B,解得tan B=2或tan B=-12(舍去).设AD=CD=x,则在RtABD中,tan B=ADBD=x3-x=2,解得x=2,AD=CD=2,BD=1.因为DA,DB,DC两两垂直,所以以点D为原点,DB,DC,DA的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立图D 4-1如图D 4-1所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(12,1,0),BM=(-1,1,1).设N(0,a,0),则EN=(-12,a-1,0).ENBM,ENBM=0,即12+a-
5、1=0,解得a=12,N(0,12,0),当DN=12(即N是线段CD上靠近D的一个四等分点)时,ENBM.设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),且BN=(-1,12,0),则nBN=0,nBM=0,即-2x+y=0,-x+y+z=0,令x=1,则n=(1,2,-1).取平面BNC的一个法向量m=(0,0,1),则cos=mn|m|n|=-66,锐二面角M-BN-C的余弦值为66.方案二:选择条件.在题图4-1所示的ABC中,设BD=BC,则AD=AB+BD=AB+BC=AB+(AC-AB)=(1-)AB+AC,又AD=23AB+13AC,所以=13,即BD=1.后续解法同方案一.方案三:
6、选择条件.在题图4-1所示的ABC中,设BD=x(0x3),则CD=AD=3-x.在题图4-2中ADDC,ADBD,且BDDC=D,AD平面BCD.由BDC=90,得SBCD=12x(3-x),VA-BCD=13ADSBCD=13(3-x)12x(3-x)=16(x3-6x2+9x),x(0,3),令f(x)=16(x3-6x2+9x),x(0,3),则f(x)=12(x-1)(x-3),当0x0,当1x3时,f(x)0,b0),则曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),(题眼)由题设得a2+b2a2=3,9a2-16b2=1,解得a2=1,b2=2,所以曲线C的方程为x2-y22
7、=1.(i)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,则直线l与曲线C有且仅有一个交点(-1,0),不符合题意.(ii)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y-1=k(x+1),即y=k(x+1)+1,代入x2-y22=1得(2-k2)x2-2k(k+1)x-(k2+2k+3)=0(*),若2-k2=0,即k=2时,方程(*)有且仅有一解,不符合题意;若2-k20,即k2时,其判别式=-2k(k+1)2-4(k2-2)(k2+2k+3)=8(2k+3)0,则k-32,所以方程(*)有两个不同实数解时,k-32且 k2, 于是x1+x2=-2k(k+1
8、)2-k2=2(-1)=-2,解得k=-2,与k-32且 k2矛盾.所以不存在直线l,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点.若选条件.由题设得曲线C为焦点在x轴上的椭圆.设m=1a2,n=1b2(ab0),则曲线C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题设得a2c=a2a2-b2=4,2a2-b2=2,解得a2=4,b2=3,所以曲线C的方程为x24+y23=1.(i)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,代入x24+y23=1得y=32,P(-1,1)不是线段AB的中点,不符合题意.(ii)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1)+1,代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+8k(k+1)x+4(k2+2k-2)=0,其判别式=8k(k+1)2-4(3+4k2)4(k2+2k-2)=16(9k2-6k+6)0恒成立,于是x1+x2=-8k(k+1)3+4k2=2(-1)=-2,解得k=34,故y=34(x+1)+1=34x+74,即3x-4y+7=0,所以存在直线l:3x-4y+7=0,与曲线C交于A,B两点,且P为线段AB的中点.
