1、第二章 数 列 2.2 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和第2课时 等差数列前n项和的综合应用课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握等差数列前 n 项和的性质及应用(重点)2.会求等差数列前 n 项和的最值(重点、易错点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1Sn 与 an 的关系an，n1，n22等差数列前 n 项和的性质(1)等差数列an中，其前 n 项和为 Sn，则an中连续的 n 项和构成的数列Sn，S3nS2n，构成等差数列(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b 为常数)SnSn1S1
2、S4nS3nS2nSn课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3等差数列前 n 项和 Sn 的最值(1)若 a10，则数列的前面若干项为项(或 0)，所以将这些项相加即得Sn的最值(2)若 a10，d0，d0，则是Sn的最值；若 a10，d0，d0，bnbn12(n2)又b114(b11)2，b11，bn为等差数列，bn1(n1)22n1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页等差数列前n项和性质的应用 已知等差数列an，Sm，S2m，S3m 分别是其前 m，前 2m，前 3m 项和，若 Sm30，S2m100，求 S3m.课时分层作业当堂达标固双基自
3、主预习探新知合作探究攻重难返首页解 法一：设an的公差为 d，依据题设和前 n 项和公式有：ma1mm12d30，2ma12m2m12d100，得 ma1m3m12d70，所以 S3m3ma13m3m12d3ma1m3m12d 370210.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：Sm、S2mSm、S3mS2m成等差数列，所以 30、70、S3m100 成等差数列所以 27030S3m100.所以 S3m210.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法三：在等差数列an中，因为 Sna1n12n(n1)d，所以Snn a1(n1)d2.即数列Sn
4、n 构成首项为 a1，公差为d2的等差数列依题中条件知Smm、S2m2m、S3m3m成等差数列，所以 2S2m2mS3m3mSmm.所以 S3m3(S2mSm)3(10030)210.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 在等差数列中，前 n 项和 Sn 的问题利用公式可列出关于 a1和d 的方程(组).要注意等差数列中 Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等差数列且公差为 m2d，Smm，S2m2m，S3m3m，也成等差数列，用此性质可简化运算.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数
5、项之和为 33，求这个数列的中间项及项数【导学号：12232176】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设等差数列共 2n1 项，则奇数项有 n1 项，偶数项有 n 项，中间项是第 n1 项，记为 an1，设公差为 d，则S奇a1a3a5a2n144，S偶a2a4a6a2n33.S 奇S 偶a1ndan111，即中间项 an111.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又 S2n1S 奇S 偶77.2n1a1a2n122n12an1277，(2n1)1177，2n17，即数列的中间项为 11，这个数列共 7 项课时分层作业当堂达标固双基自主预习
6、探新知合作探究攻重难返首页等差数列前n项和Sn的函数特征探究问题1将首项为 a12，公差 d3 的等差数列的前 n 项和看作关于 n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前 n 项和为 Sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示 首项为 2，公差为 3 的等差数列的前 n 项和为 Sn2nnn13232n212n，显然 Sn 是关于 n 的二次型函数如果一个数列的前 n 项和为 Sn3n2n，那么当 n1 时，S1a14.当 n2 时，anSnSn16n2，则该数列的通项公式为 an6n2
7、，所以该数列为等差数列课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页一般地，等差数列的前 n 项和公式 Snna1nn12dd2n2a1d2 n，若令Ad2，Ba1d2，则上式可写成 SnAn2Bn(A，B 可以为 0)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知一个数列an的前 n 项和为 Snn25n，试画出 Sn 关于 n 的函数图象你能说明数列an的单调性吗？该数列前 n 项和有最值吗？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示 Snn25nn522254，它的图象是分布在函数 yx25x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可
8、知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前 n 项为负数由 Sn 的图象可知，Sn 有最小值且当 n2 或 3 时，Sn 最小，最小值为6，即数列an前 2 项或前 3 项和最小课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 数列an的前 n 项和 Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设 bn|an|，求数列bn的前 n 项和 Sn.【导学号：12232177】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)利用 Sn 与 an 的关系求通项，也可由 Sn 的结构特征求 a1，d，从而求出通项(2)利用 Sn 的
9、函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用 an 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用 Sn 的函数特征判断项的正负求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)法一：当 n2 时，anSnSn1342n，又当 n1 时，a1S1323421 满足 an342n.故an的通项公式为an342n.法二：由 Snn233n 知 Sn 是关于 n 的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由 Sn 的结构特征知d21，a1d233，解得 a132，d2，所以 an342n.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)
10、法一：令 an0，得 342n0，所以 n17，故数列an的前 17 项大于或等于零又 a170，故数列an的前 16 项或前 17 项的和最大法二：由 yx233x 的对称轴为 x332.距离332 最近的整数为 16,17.由 Snn233n 的图象可知：当 n17 时，an0，当 n18 时，an0，故数列an的前 16 项或前 17 项的和最大课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)由(2)知，当 n17 时，an0；当 n18 时，an0.所以当 n17 时，Snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探
11、新知合作探究攻重难返首页当 n18 时，Sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)S17(SnS17)2S17Snn233n544.故 Sn33nn2n17，n233n544n18.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.在等差数列中，求 Sn 的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小).(2)借助二次函数的图象及性质求最值.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.寻求正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用an
12、0，an10或an0，an10来寻找.(2)利用到 yax2bx(a0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.3.求解数列|an|的前 n 项和，应先判断an的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3在等差数列中，a1023，a2522.(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列|an|的前 n 项和.【导学号：12232178】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设等差数列an中，公差为 d，由题意得a25a1015d4
13、5，23a1101d，a150，d3.(1)设第 n 项开始为负，an503(n1)533n533，从第 18 项开始为负课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)|an|533n|533n117.当 n17 时，Sn32n21032 n；当 n17 时，Sn|a1|a2|a3|an|a1a2a17(a18a19an)，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页Sn32n21032 n 2S1732n21032 n884，Sn32n21032 nn17，32n21032 n884n17.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂
14、 达 标固 双 基1设an为等差数列，公差 d2，Sn 为其前 n 项和若 S10S11，则 a1()A18B20 C22 D24B 由 S10S11，得 a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为()【导学号：12232179】A5B4 C3D2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页C 由题意得 S 偶S 奇5d15，d3.或由解方程组5a120d15，5a125d30，求得 d3，故选 C.课时分层作业
15、当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知数列an的前 n 项和 Snn21，则 an_.2，n1，2n1，n2 当 n1 时，a1S12，当 n2 时，anSnSn1(n21)(n1)212n1，又因为 n1 时 an2n11a1，所以 an2，n1，2n1，n2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4数列an为等差数列，它的前 n 项和为 Sn，若 Sn(n1)2，则 的值为_.【导学号：12232180】1 等差数列前 n 项和 Sn 的形式为 Snan2bn，1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5已知数列an的前 n 项和
16、公式为 Sn2n230n.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bnanan1，求数列bn的前 n 项和 Tn.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)Sn2n230n，当 n1 时，a1S128.当 n2 时，anSnSn1(2n230n)2(n1)230(n1)4n32.当 n1 时也满足此式，an4n32，nN.(2)由(1)知 bnanan1(4n32)(4n28)8n60，数列bn是以 8 为公差的等差数列，b152，Tn528n602n4n256n.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十一）点击上面图标进入 谢谢观看
