1、如何使普高学生运用数学语言进行正确表述刘锦浓摘要 数学表达能力是在数学表达活动中逐渐形成和发展起来的，对一个人来说这种能力不是一朝一夕能够提高的。新课程标准中要求数学教育要使学生表达清晰，而农村普通高中学生最大的一个弱点就是不能正确运用数学语言进行表达。本文从课堂教学、研究性学习的开展中如何提高学生的口头表达能力和书面表达能力等方面进行了一些粗略的分析。关键词 数学语言 数学表达能力 口头表达能力 书面表达能力一、问题的提出新普通高中数学课程标准（实验版）中提出“数学教育要使学生表达清晰、思考有条理，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”。数学的表达是“数学的交流能力”的体现，需要学生
2、能够正确地识别、使用数学语言，通过数学语言捕捉相应的信息。 全美数学教师协会(NC T M)发布的中小学数学课程与评价标准(以下简称标准)中要求学生“学会数学交流会读数学，写数学，讨论数学，会与他人用数学语言交流思想”。考试说明中明确提出了数学方面的能力特别是分析和综合能力往往出现在高考试卷中的中档和压轴题上，这就要求学生的解答过程正确、简捷。近年来，在高考中考生因表述不当而引起的失分相当严重，尤其是那些逻辑混乱的解答表述。 以立几为例，对解答的要求是“推理严谨、表述规范，条件、结论清晰，定理、定义使用合理，解答过程层次分明。此外，对于书本中的非黑体字的结论（例如”经过一个角的顶点引这个角所在
3、平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线”），通常的观点是，计算题中可以直接借用，但证明题中必须加进其证明过程。 我校是一所农村普通高级中学，学生方面存在数学基础薄弱、语言文字表达能力欠缺等问题。本人通过对学生课堂口述能力和书面表达能力方面的调查，发现有相当一部分学生在课堂提问中不能很好地运用数学语言表述自己的观点，在完成课堂或课外作业时往往只有一两个步骤或者只有一个答案，在考试中影响得分率。03年11月本人有幸去临海市回浦中学观摩浙江省高中青年教师的优质课评比，发现回浦中学的学生最大的优点是运用数学语言进行表述的能力非常强。对比之下，我认为农
4、村普通高中数学教学应该着眼于如何使学生能运用数学语言进行正确的表述，以从根本上提高教学质量。 二、学生不能正确组织数学语言进行表述的原因1、口语表达不够准确通常老师这样问学生：“是不是”、“对不对”、“这个答案等于多少”等等，留给学生回答的只可能是“是”、“对”、“等于某某数字或选项”等语词。再者很多老师在备课时已把问题想得很细，一个个在教案上列得清清楚楚，教学时，不敢越雷池半步，重大问题由老师自己提出并解决。偶有学生举手回答，老师生怕打乱自己的步骤，耽误了时间，在学生答了一丁点时就取而代之了，更不用说能给学生提供发表不同见解、敢于辩论、纠正别人错误的空间。久而久之，学生的口语表达能力仅限于一
5、些机械的问答，而不能独立地正确地组织数学语言进行课堂回答和提问。2、书面表达不够规范、不够细化高中学生的兴趣及兴奋点往往集中在解题中的方法介绍及难题辅导等方面，而却忽略了运算的算理及规范的书写表达，在真正综合应用时，又恰恰是由于基本功不过关，影响了正确的解法。运算能力差是学生中存在的老大难问题，主要表现为眼高手低，懂而不会，会而不对，对而不快等通病，一些“自我感觉良好”的同学，常常轻视基本知识、基本技能及方法的训练和巩固。经常知道怎么做就算了，而不去认真演算或规范地表达，一但考试时不是演算出错就是中途“死机”。案例：平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点M为直线OP上的一个动
6、点。（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cosAMB的值。学生解答一：由题意知：A（1，7），B（5，1），P（2，1），设M（2x，x） =5x2-20x-8 当x=2时，最小值为-8此时M（4，2），cosAMB=案例分析：学生在解答该题时第一个误区为人为地认定点O即为坐标原点，而实际上应按如下操作来作为解题突破口：；存在的第二个误区是认为只要答案对就可以，过程交代得是否清楚无关紧要，比如如何得出M（2x，x），如何求出cosAMB的过程并未呈现出来，不利于检查，同时影响得分。3、审题、读图能力薄弱，影响正确地进行数学表述。案例1 解决“数列an中，an=
7、n2+3n+1，数例bn是以an为前n项和的数列，求数bn的通项公式。”时，大多数学生误以为bn=a1+a2+an，导致解题受阻。究其原因是对相关的数学语言不能正确理解，导致不能运用数学知识正确表达解答过程。-11xyo案例2 若函数(x)=的图像如图所示,则m的范围为 A,(-,-1) B,(-1,2) C,(1,2) D,(0,2)大部分学生在做该题时，不知从何入手，其原因在于不能正确读图，导致后继程序无法执行。我们知道数学语言除了以文字形式、符号形式出现，还可以图形（图象）形式出现，在数学教育中使学生正确地运用数学语言进行表述的前提是要培养他们的读题（包括读图）能力。 4、缺乏撰写数学小
8、论文的体验。由于受客观条件和时间的限制，我校数学学科开设研究性学习并未能走上正常的轨道，对学生的研究报告或总结不能进行收集和反馈，帮助学生运用准确的数学术语撰写数学小论文。此外，值得我们教师注意的是：忽视解题规范教学对学生的影响较深！教学中的板书随意写，学生作业不认真评阅，学生的不良习惯不及时纠正，致使在高考中问题总爆发。那种只重结果而轻过程的做法是不妥的，导致学生在考试中自认为做对了的，但实际上问题出了不少，这样，学生考试将大失水准，高考落空，损失惨重，这一切不得不值得我们深思。 三、引导学生正确组织数学语言进行表述（一）关注课堂教学的提问艺术， 促使学生能正确运用数学语言进行口头表述。古人
9、云：学起于思，想源于寒。在课堂教学过程中教师精心设计提问，竭力点燃学生思维的火花，激发他们的求知欲望，并有意识地为他们发现疑难问题、解决疑难问题提供桥梁和阶梯，引导他们一步步登上知识的殿堂。国外一位教育家曾说过“中小学教师若不谙熟发问技术，他的教学是不易成功的。” 今天我们要培养学生的创新意识和实践能力，强化学生的提问意识又是至关重要的。那么在课堂教学中如何实现由教师提问为主导向学生提问为主的转变呢？首先教师应为学生大胆提问创设一种宽松、民主、平等的课堂气氛。当学生所提的老师看来幼稚时，也许是学生灵感乍现，老师要多一点容忍，少一点讥笑；当学生所提问题让老师难堪时，要多一点理解，少一点责备；当学
10、生为了表达一个问题急得面红耳赤时，要多一点鼓励，少一点不耐烦，教师应尊重学生的想象或别出心裁的念头。例如我在教学高一数学求值域这一知识时向学生提供了这么一道题：“已知（2log0。5x）2+7log0。5x+30，求函数y=log2xlog2的值域。”首先引导学生发现条件（2log0。5x）2+7log0。5x+30是为我们提供了后续函数的定义域，再引导学生去探究求函数的最值时，有一学生认为可以利用单调性去解答,理由是增增得增。我首先给予表扬，再请其他同学一起探讨这里这么解决是否合理，在一部分同学提出异议后请他们指出错误的原因，同时引导他们去回顾增增得增成立的前提条件。在学生清楚该解法是错误时
11、，请同学们继续思考、探究该题的正确解题思路化归为二次函数求解。其次在课堂教学中，应着力创设一种引发学生主动提问的情境。例如：在教学相互独立事件同时发生的概率第一课时时，可设置这样一个引例：“已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？”为新课学习创设探求新知的课堂气氛，使学生在“提问解答辩论得出正确结果”过程中，体会一个探索者的成就，让学生获得自主探索的成就感，间接地提高学生的数学表达能力。教师在课堂教学过程中可以采用下列问句来孕育、熏陶、培育学生的质疑思
12、维，从中感知数学语言的准确性和规范性：“依据问题的情境、条件，你可以动手实践、自主探索一下么？”“通过特咧的试验归纳，你能猜想出结论么？”“你知道什么有关问题么？”“你发现了什么基本问题没有？”“不能统一解决的话，分类、分情况讨论求解能行吗？”“从已知出发，能推出些什么有用的东西？”“如何利用条件，使已知和求证（求）更相接近呢？”“从结论倒推，只要去求（求证）什么就行了？”“题目中有多少个你可以利用的关系？你可以把它们用等式一一表述出来么？”“需要引进参数么？要引进几个？是哪几个？”第三，宽松的学习环境是学生释放个性，迸射创造火花的前提。课堂上，不能要求学生唯命是从，要发扬教学民主，建立良好的
13、平等、开放、民主和谐、互信的新型师生关系。鼓励学生发表交流意见，进行大胆质疑，大胆设想，大胆想象，对于学生不同见解和新的观点，教师不但要耐心听其叙述，宽容鼓励，而且要及时鼓励有创造性的一面。对于学生提出的尚不成熟的问题，则要与学生一道分析，促使学生自己分析出问题的症结所在。这样可以潜移默化地提高学生的数学表达能力，促使学生能数学地看待问题、发现问题、规范地运用数学语言的表达来解决问题。案例 在教学抛物线第一课时，回浦中学的教师徐世白在课堂上留给学生充足的时间去“探究到一定点F与到一定直线l距离相等的点的轨迹”，还请三位学生上黑板把他们的探究过程用图形展示出来，并依次请三位学生阐述自己的原理。三
14、种图形如下：FL2MP探究1FddPP探究2LL1dLFd探究3PL1L探究1中符合条件的点是垂直于L的直线L1与MF的中垂线L2的交点P；探究2中符合条件的点为满足图示条件的直线l1与圆F的交点P；探究3中符合条件的点为与直线L相切且过点F的圆的圆心P。通过这一阶段的学习，不但可以训练学生的识图、作图的能力，还可以训练学生准确地运用数学语言阐述自己的观点，发展学生的创造能力。（二）注重数学课堂教学中数学表述的规范性。数学表达能力是在数学表达活动中逐渐形成和发展起来的，对一个人来说这种能力不是一朝一夕能够提高的。因此，教师应在高一就着手培养学生的数学表达能力。否则，学生在以后的学习中可能因总不
15、能把自己的思想和观点准确地用数学语言表达，给数学交流带来困难，最直接的后果是在考试中对一些会解的题总是词不达意使成绩不理想，学生易产生“怀才不遇”的失望心理，不愿再对数学付出努力。1、在概念课关注学生运用数学语言表述的规范性。加强概念教学，一方面要丰富学生的数学语言词汇，另一方面还应注意训练学生的口头和笔头表达能力，培养他们的高中数学语感。如要求他们对所听内容进行口头复述；对概念、定理、公里、公式、性质的理解进行口头复述；指导他们解题过程的书面表达等。典型的问题教师应先向学生提供一种表达模式（如求反函数的“三步曲”、求轨迹方程的“五步法”等）慢慢熟练后，便可扩大其表达的自由度。适当的时候，可选
16、择一些有价值的“表达”内容作为训练项目，要求学生每人拿出自己的最佳表达方案，尽可能让学生在黑板上板演，通过师生的共同活动找出表达中存在的问题，选出最优者或标准的表达方式。学生通过对比，发自内心地认识到自己的差距，就会爆发出强烈的提高表达能力的欲望。例如在教学反函数第一课时，在导出新课后，可引导学生阅读高一（上）数学教材第66页中反函数的定义，并逐一地要求学生理解定义中A、C、x=（y）、x=f 1（y）等符号语言，从而引导学生正确地表述反函数的定义，为后继学习奠定基础。2、例题教学课上关注学生的书面表达能力：（1）通过阅读教材，规范学生的表达能力。众所周知，数学中的定理法则公式等的叙述及例题的
17、解答或证明都是学生学习的好材料，况且数学中的符号、图表、算式、例题的解答都以其形式优美，内容丰富，表述准确而简明见长。数学教材在表述上科学而通俗，生动而有趣。从学习的角度看，阅读教材，对培养学生的数学思考能力，数学表达能力，规范学生的教学解题格式等都有好处。有些学生虽然懂得解题方法，心里明白又说不清楚。这时，教师指导学生通过阅读教材，比较课本上的规范形式与自己的解答，从中找出异同，从而掌握正确的发法，标准的格式，养成严谨而深刻进行数学思维的习惯。当然，阅读教材可以在课前阅读，也可在课中阅读，也可在解题后进行，可以在教师指导下阅读，也可以让学生分组成独自进行。例如在教学数列应用题时，可指导学生阅
18、读高一（上）数学教材第116页例3、第120页例1、第127页例1和第131页例2，这对规范学生的解题格式有很大帮助。（2）通过加强例题教学，提高学生的数学语言表达能力。一般来说，例题是典型的具有代表性的题目，例题的解答过程是运用理论解决具体问题的过程。例题的作用不仅是复习巩固基础知识，而且能发展学生由一般到特殊的演绎推理能力，还可作为向学生提供正确使用数学语言进行表达范例。一般，教师应该在引导学生读题的基础上，了解题意，搞清题目所给的条件，特别是某些隐含条件，明确解题的要求，正确画出图形（图象），再联想筛选寻求思路，找出能够沟通条件和结论的路线，理清解题思路，弄清解题的方法和步骤，最后用严格
19、的格式，准确的数学语言写出题目的解答，这对于学生养成规范的数学表述是非常必要的。例如：已知上是增函数，在0，2上是减函数，且方程有三个根，它们分别为.（）求c的值；（）求证（）求的取值范围.分析：（-，0）上是增函数，0，2上是减函数可导出如下结论： f （0）=0 f（2）0方程有三个根，它们分别为.可导出如下结论：f（2）=0 f（x）=x3+bx2+cx+d=（x-2）（x-）（x-）再在此基础上引导学生运用正确的数学语言对上述结论进行合理转化，正确表述，从而解决该问题。（3）、加强复习教学中数学交流的训练，让学生通过参与教学过程，充分暴露数学表达能力的不足，及时加以辅导，不断提高学生的
20、数学表达的准确性、逻辑性、完整性和流畅性，在复习过程中教师不能仅仅停留在提供答案和正确解法上，还要让学生知道如何得到正确答案，让学生学会把解决问题的思路用严谨的规范的数学语言完美的表达出来。在抓高效益复习的前提下，以小综合题目为主的训练很重要，因为一方面小综合题目既有覆盖面，又有灵活性，还能为多数学生可望也可及，有利于锻炼学生规范书写，培训运算的严谨性，进而达成心理稳定，兴趣激发，体验成功，效率更高。另一方面，小综合题目又便于由此及彼，借题发挥，纵横联系，融会贯通，这样对学生进一步完成中高难度的问题就提供了“温暖”的心境。（3）重视课后作业的及时反馈，帮助学生进行正确的数学表述。（三） 注重学
21、生的学习风格，确实落实新课标下的研究性学习. 学习风格是学习者在长期学习活动过程中养成的学习时对环境、时间、感知信息的通道、思考方式等等方面的偏爱。比如，在研究性学习的活动中，有些学生表现出喜欢分析问题，而有些学生则喜欢整体地思考问题；有些学生一遇到困难就放弃，而有些学生则能坚持。在以往的课堂教学中，由于受环境和时间的限制，学生往往没有充分表现自己的可能，但在研究性学习中，由于时间长，接触对象各异，学生有了更多表现自己风格的机会。同时还能提高学生运用正确的数学语言撰写数学小论文的能力。案例：叶涓涓是一个非常外向的女孩子，平时学习成绩较好，但在课堂上不如同班的其他成绩好的同学那么突出，在课堂上往
22、往比较沉默。可在开展研究性学习的过程中，她表现得异常活跃，并能正确地运用数学术语与老师进行交流。于是，所有的对外交流的重任自然而然落在她的肩上，成了小组中不可缺少的一员。案例分析：在研究性学习的小组中，经常在一段时间后形成部分学生的权威地位，如同教师在课堂中的地位，在研究过程中这些学生的言行起决定作用，通常扮演这种角色的是那些在班级中被公认的读书拔尖的学生或班级干部，而那些不太出众的学生则通常扮演追随者的角色，要想在小组中引人注目，必须在长时间合作后，才被发现。因此，研究性学习的开设正为这些学生提供了表现自己的空间和时间。使这些学生能更好地消化和吸收课堂教学中所未能领悟的数学知识及数学术语的正
23、确表述，还能让学生体会到科学的严肃性。（五）进行行一定的数学口试口头表达是数学交流中的一个非常重要的方面，口试的形式有助于学生表达自己的思想，诊断其错误的观念，能更好地了解学生的思考过程和情绪形成的因素。在访谈时要注意，如果是为了调动学生的情绪，应该以一种平等的口吻创造一种宽松的气氛，使学生能尽量表达、自由联想。如果访谈是为了了解学生的数学能力，教师应充分了解数学的概念结构，这样才能提出较恰当的问题。如果学生回答不佳，可以问下面的问题，反之可以问较高层次的问题以促进他们的思考。 尽管口试在教学中实施起来比较困难，但它毕竟不失为一种评价学生数学表达能力和数学情感的有效方法。总之，要大面积提高普通高中学生的数学成绩，应学在平时，攻在平时，补在平时。以训练学生正确使用数学的文字语言、符号语言、图形语言为基础，努力为学生营造自主探索和合作交流的空间，并善于从教材实际和社会生活中提出问题，开设研究性课程，让学生自主学习、讨论、交流，在解决问题的过程中，激发兴趣，树立信心，培养钻研精神，同时提高数学表达能力和数学交流能力。
