1、宁夏六盘山市高级中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）测试时间：120分钟 满分：150分A卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线l的方程是，则直线l经过（ ）A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限C. 一、三、四象限D. 二、三、四象限【答案】A【解析】【分析】画出图形即可判断.【详解】画出直线图形如下：由图可得直线过一、二、三象限.故选：A.2. 平面平面，则直线和的位置关系（ ）A. 平行B. 平行或异面C. 平行或相交D. 平行或相交或异面【答案】B【解析】【分析】利用平面平面，可得平
2、面与平面没有公共点，根据，可得直线，没有公共点，即可得到结论【详解】平面平面，平面与平面没有公共点，直线，没有公共点直线，的位置关系是平行或异面，故选：B.3. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：设直线的倾斜角为，由两点斜率公式的直线的斜率所以，故选A考点：1、直线的斜率公式；2、直线的倾斜角4. 圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别是A. (0,2),2B. (2,0),4C. (-2,0),2D. (2,0),2【答案】D【解析】【分析】把圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解圆的圆心坐标和半径，得到答案【详解
3、】依题意可得：圆的圆心坐标和半径分别是，故选D【点睛】本题主要考查了圆的方程的应用，其中熟记圆的标准方程和圆的一般的形式和互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题5. 下列说法正确的是()A. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B. 多面体至少有3个面C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【答案】D【解析】选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D
4、正确故选D6. 若直线与直线平行，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由两直线平行可知系数满足考点：两直线平行的判定7. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，且，则；B. 若，且，则；C. 若，则；D. 若，则.【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理判断A是否正确；根据平面平行的判定定理来判断B是否正确；根据直线是否在平面内的情况，来判断C是否正确；根据平面垂直的判定定理来判断D是否正确.【详解】A中，但不一定相交，故不正确；B中，当两直线相交时，结论才成立，故不正确；C中，当满足不在平面内时，结论成立，故不正确；D中，
5、由面面垂直的判定定理知正确，故D正确.故选：D8. 圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】【分析】计算两个圆的圆心距以及，比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆的圆心分别为，圆心距，两个圆半径均为，故，所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的圆心和半径以及圆心距的计算，属于基础题.9. 如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，根据三视图中数据，利用锥体体积公式可得结果,.【
6、详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面是边长为2的正方形，面积为4，四棱锥高是正视图与侧视图三角形的高，为，所以，该几何体的体积为，故选A.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 将正方形沿对角线BD折成直二面角，有如下四个结论：； 等边三角形 ；与平面所成的角为60； 与所成的角为60其中正确结论的个数是( ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：设BD的中点为O，则，所
7、以平面，所以故结论正确设正方形的边长为1，则AO=CO=又因，所以而，所以是等边三角形故结论正确显然AB与平面BCD所成的角是，故结论错误设BC、AC的中点分别为E、F，显然OECD，EFAB，同时易知三角形EFO为等边三角形，所以与所成的角故结论正确综上，正确的结论个数为3，故选C考点：以空间几何为背景的命题真假判断【方法点睛】（1）异面直线的垂直判断问题，常通过直线与平面垂直的性质证明，即其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面（2）异面直线所成的角，常通过平移将其转化为平面角并在三角形内运算，同时注意异面直线所成角的范围（3）斜线与平面所成的角常运用定义，在斜线上找一点向平面作垂线，则斜线
8、与斜线在平面内的射影所成的角即为所求二、解答题：本题共5道题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11. 已知正方体，是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】【解析】【分析】连接，结合题中条件，由正方体的结构特征，可得即为异面直线与所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为，求出的余弦值，即可得出结果.【详解】连接，在正方体中，易知，所以即为异面直线与所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为，因为是棱的中点，所以，又，所以.即异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面
9、直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角12. 求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程(化成一般式).【答案】2x+y+2=0.【解析】【分析】先解由l1和l2方程组成的方程组，再根据所求直线与l3垂直，可得所求直线的斜率，进而可以写出点斜式方程，再化成一般式即可.【详解】由 解得 点P的坐标是， 所求直线与垂直， 设直线的方程为 把点P的坐标代
10、入得 ，得 所求直线的方程为 .13. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于A、B两点，求所得弦长的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件可以确定圆心坐标和半径，写出圆的方程；（2）先求圆心到直线的距离，结合勾股定理可求弦长.【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为； (2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.【点睛】圆的方程求解方法：（1）直接法：确定圆心，求出半径，写出方程；（2）待定系数法：设出圆的方程，可以是标准方程也可以是一般式方程，根据条件列出方程，求解系数即可.14. 如图所示，在四棱锥P
11、-ABCD中，BC/平面PAD，E是PD的中点.（1）求证：BC/AD；（2）求证：CE/平面PAB.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面平行即可证明BC/AD；（2）取PA的中点F，连接EF，BF，证明，CE/平面PAB即得证.【详解】证明：在四棱锥中，平面PAD，平面ABCD，平面平面，取PA的中点F，连接EF，BF，是PD的中点，又由可得，且， 四边形BCEF是平行四边形，平面PAB，平面PAB， 平面PAB.【点睛】方法点睛：证明空间直线平面的位置关系一般利用转化的思想：线线平行（垂直）线面平行（垂直）面面平行（垂直）.15. 如图，AB是的直径，
12、PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC面PAC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明ACBC和PABC，BC面PAC即得证；（2）先证明BPC为PB与平面PAC所成的角，再通过解三角形求出即得解.【详解】证明：(1)为圆O直径ACB=90即ACBCPA面ABC，PABCACPA=ABC面PAC.(2)BC面PAC，BPC为PB与平面PAC所成的角，在直角三角形中，在直角三角形中，,在直角三角形中，tanBPC=.故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.【点睛】方法点睛
13、：求线面角常用几何法求解，其步骤为：找作证（定义）指求（解三角形）.B卷三、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分.16. 如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为_.【答案】4【解析】【分析】根据斜二测画法还原该平面图形再求解即可.【详解】由斜二测画法可知原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形.故面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查了斜二测画法求原图形面积的问题,属于基础题.17. 已知一个等腰直角三角形的直角边长为，以它的一条直角边所在直线为轴旋转所生成的旋转体的侧面积为_.【答案】【解析】【分析】求出圆锥的底面半径和母线长根据圆锥的侧面积公式可得答案.【详
14、解】由题意得圆锥的底面半径为，圆锥的高为，所以母线长，所以侧面积为.故答案为：18. 圆：上的点到直线的距离最大值是_.【答案】【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标和半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,求出即为所求的距离最大值.【详解】化为标准方程得:,所以圆心坐标为,圆的半径,所以圆心到直线的距离,则圆上的点到直线的距离最大值为,故答案为 .此题考查了点到直线的距离公式,找出圆上的点到已知直线的距离最大值为是解本题的关键.19. 侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_【答案】，【解析】【分析】侧棱长为a的正
15、三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥是正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，他们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出表面积【详解】侧棱长为的正三棱锥其实就是棱长为的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为，该球的表面积为【点睛】此类特殊的三个面都是直角的三棱锥可以看着是正方体或者长方体的顶角，求三棱锥的外接球直径转换为求立方体的体对角线，求表面积或者体积实际就是在求外接球半径20. 已知点P（x，y）是圆（x2）2+y21上任意一点，则 最大值是_.【答案】【解析】【分析】首先设，则，利用直线与圆有交点，列式求
16、最大值.【详解】设，则，则圆心到直线的距离，解得：，所以的最大值是.故答案为：四、解答题：21题12分，22题13分，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB平面ABCD（1）求证：平面PAD平面PAB；（2）若平面PDA与平面ABCD成60的二面角，求该四棱锥的体积【答案】（1）证明详见解析；（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直证面面垂直，由题意可得AD平面PAB，故可得证；（2）容易得出PAB为平面PDA与平面ABCD成二面角的平面角，在RtPBA中，求出椎体的高PB，利用锥体体积公式计算即可【详解】（1）PB平面AB
17、CD，AD平面ABCD，PBADADAB，且ABPBB，AD平面PAB又AD平面PAD，平面PAD平面PAB（2）由（1）的证明知，PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即PAB60，PBaVPABCDa2a【点睛】本题考查线面垂直面面垂直的判定，锥体体积计算，考查转化、计算、论证能力22. 已知曲线直线（1）当曲线表示圆时，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得曲线与直线相交于，两点.且满足其中为坐标原点若存在，求的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）将曲线的方程配方整理，根据其表示圆列出不等式求解，即可得出结果；（2）联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据判别式大于零，求出的范围，设，根据，求出，即可得出结果.【详解】（1）由可得，又因为曲线表示圆，即；结论：存在实数，使得曲线C与直线l相交于M，N两点，且满足其中O为坐标原点.理由如下：由，消去整理得：，由题意可得，即；设，则，由可知，则，即，则，即.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中，联立直线与圆的方程，结合韦达定理，得出关于的方程，求出即可得解.（求出的要满足判别式大于零）
