1、第一节坐标系A组基础题组1.(1)化直角坐标方程x2+y2-8x=0为极坐标方程;(2)化极坐标方程=6cos为直角坐标方程.2.在极坐标系中,曲线C的方程为2=,点R.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.3.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=2,2-2cos=2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.4.已知圆C:x2+y2=
2、4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.5.(2016福建福州模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2:(x-1)2+y2=1.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)若射线=(0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.6.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为=
3、-2cos,cos=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.B组提升题组7.在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线l:=-(R)被圆C截得的弦长.8.(2016河南三市3月联考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)已知射线l1:=,将射线l1顺时针旋转得到射线l2:=-,且射线l1与曲线
4、C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O、Q两点,求|OP|OQ|的最大值.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)将代入x2+y2-8x=0得2cos2+2sin2-8cos=0,即2-8cos=0,极坐标方程为=8cos.(2)因为=6cos,所以=6,即2=3cos+3sin,所以x2+y2=3x+3y,即x2+y2-3x-3y=0.直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.2.解析(1)x=cos,y=sin,曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点R的直角坐标为(2,2).(2)设P(cos,sin),根据题意可得|PQ|=2-cos,|QR|=2-sin,|PQ|+|QR|=4-2s
5、in,当=时,|PQ|+|QR|取最小值2,矩形PQRS周长的最小值为4,此时点P的直角坐标为.3.解析(1)由=2,得2=4,所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.由2-2cos=2,得2-2=2,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为cos+sin=1,即sin=.4.解析(1)将x=cos,y=sin代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C:=2,l:(cos+sin)=2.(2)设P,Q,R的极坐标分别为(1,),(,),(2,),由|OQ|OP|=|OR|2,得1=.
6、又2=2,1=,所以=4,即=2(cos+sin),故点Q的轨迹的极坐标方程为=2(cos+sin)(0).5.解析(1)曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C1的普通方程为x2+(y-2)2=7.将x=cos,y=sin代入(x-1)2+y2=1,得到曲线C2的极坐标方程(cos-1)2+(sin)2=1,化简得=2cos.(2)依题意设A,B.曲线C1的极坐标方程为2-4sin-3=0,将=(0)代入曲线C1的极坐标方程,得2-2-3=0,又10,1=3.同理,2=.|AB|=|1-2|=3-.6.解析(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆
7、,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离d=1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.(2)设Q(0,0),P(,),则即因为点Q(0,0)在曲线C2上,所以0cos=1,将代入,得cos=1,即=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.B组提升题组7.解析解法一:(1)如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M(,),在RtOAM中,OMA=,AOM=2-,|OA|=4.因为cosAOM=,所以|OM|=|OA|cosAOM,即=4cos=4cos,验证可知,极
8、点O与A的极坐标也满足方程,故圆C的极坐标方程为=4cos.(2)易知l过点O,设l:=-(R)交圆C于另一点P,连接PA,在RtOAP中,OPA=,易得AOP=,所以|OP|=|OA|cosAOP=2.解法二:(1)圆C是将圆=4cos绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是=4cos.(2)将=-代入圆C的极坐标方程=4cos,得=2,所以直线l:=-(R)被圆C截得的弦长为2.8.解析(1)曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,所以C1的极坐标方程为=4cos,曲线C2的普通方程为x2+(y-2)2=4,所以C2的极坐标方程为=4sin.(2)设点P的极坐标为(1,),即1=4cos,点Q的极坐标为,即2=4sin.则|OP|OQ|=12=4cos4sin=16cos=8sin-4.,2-,当2-=,即=时,|OP|OQ|取得最大值,为4.
