1、第一部分 专题复习篇 专题一 数学思想与方法 1 函数与方程思想 方法解读 在中学阶段，数学思想是以渗透的方式，出现于各种知识模块的各个知识点中的，因此学习、掌握、应用数学思想，必须以理解、掌握基础知识和基本技能为前提，否则，数学思想就成了无源之水、无本之木1函数思想函数思想，就是变量和常量的思想，是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题中的数量关系，通过建立函数模型(函数关系式)或构造函数，运用函数的定义、图象、性质，去分析问题、讨论问题，使问题得以解决的数学思想2方程思想方程思想，就是未知和已知的思想，通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、不等式(组)，或者构造方程(组)、不等
2、式(组)，通过求方程(组)、不等式(组)的解或讨论方程(组)、不等式(组)的解的情况，使问题得以解决方程思想应用非常普遍，在各类题目中，凡是求未知数，经常要列方程来求3函数与方程思想解决的相关问题(1)应用函数思想解决的问题主要有以下类型：根据问题的已知条件，列出函数关系式，转化为某种函数模型，根据相应函数模型的图象、性质讨论得出问题的答案，例如解决含有参数的方程或不等式问题，可利用二次函数的对称轴、判别式、给定区间上的端点值等转化为二次函数的最值问题；构造函数模型：把方程、不等式、数列等问题，转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解，例如恒成立问题，通过变形、整理，构造出
3、一个相应的函数，再讨论函数的性质即可(2)应用方程思想主要解决以下类型的问题：根据已知条件，如题中的条件等式、某一个公式，列出方程或不等式，解之即可；这是一类常见的问题，各知识点中都有此类型的题目；直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程的综合性问题，需要转化为方程(组)，讨论方程(组)的解，或结合图形求解等；构造方程、不等式，或把等量关系问题、函数问题转化为方程或不等式问题加以解决；立体几何问题，可以通过空间向量的运算解决问题，其中主要用到方程思想求解有关的量，例如求平面的法向量，求线段的长度、确定点的位置，一般都是列方程(组)求解分类突破一、函数与方程思想在不等式、方程中的应用例 1 已知不等式
4、7x2(x21)m 对 m2,2恒成立，求实数 x 的取值范围解 设 f(m)(x21)m7x2，f(m)是 m 的函数，其图象是直线依题意，f(m)0 对 m2,2恒成立由于 yf(m)，当2m2 时的图象是线段，该线段应全部位于 x 轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于 0，即f(2)0，f(2)0，解得12x72.即适合题意的 x 的取值范围是12x72.归纳拓展 从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系变式训练 1 如果方程 cos2 xsin xa0 在(0，2上有解，求a 的取值范围解 方法一 把方程变形为 acos2 xsin x.设 f(x)
5、cos2 xsin x(x(0，2)显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时，af(x)有解f(x)(1sin2 x)sin x(sin x12)254.且由 x(0，2知 sin x(0,1易求得 f(x)的值域为(1,1故 a 的取值范围是(1,1方法二 令 tsin x，则 x(0，2，可得 t(0,1将方程变为 t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解设 f(t)t2t1a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴 t12，如图所示因此 f(t)0 在(0,1上有解等价于f(0)0f(1)0，即1a0，1a0，1a1.故 a 的取值范围是(1,1二、函数与方程思想在数列中的应用例 2 求证
6、：对于一切大于 1 的正整数 n 恒有113 115 112n1 12n2.证明 令 f(n)113 115 112n112n(n2,3，)则 f(n1)113 115 112n1 112n112(n1)(n2,3，)又f(n1)f(n)112n1 12n2n32n2(2n1)(2n3)2(n1)4(n1)211(n2,3，)，f(n1)f(n)即 f(n)(n2,3，)是单调递增函数又 f(2)1135 1645166412，当 n2,3，时，恒有 f(n)12.故113 115 112n1 12n2(n2,3，)归纳拓展 数列就是变量为正整数 n 的函数，函数 f(n)单调性的研究，可通过
7、作差法或作商法，本题先构造函数 f(n)，然后利用作商法证明其单调性变式训练 2 证明：对任意的正整数 n，不等式 ln1n1 1n21n3都成立解题导引 由于 n 是正整数，故1n(0,1，所证不等式即1n3 1n2ln1n1 0.构造函数 f(x)x3x2ln(x1)，只需证明它在(0,1上大于 0 即可证明 令 f(x)x3x2ln(x1)，则 f(x)3x3(x1)2x1在(0,1上恒正f(x)在(0,1上单调递增，当 x(0,1时，有x3x2ln(x1)0，即 ln(x1)x2x3，对任意正整数 n，取 x1n(0,1，得 ln1n1 1n2 1n3.三、函数与方程思想在解析几何中的
8、应用例 3 已知双曲线 C 的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，离心率为 e 52，顶点到渐近线的距离为25 5.(1)求双曲线的方程；(2)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 AP PB，13，2，求AOB 面积的取值范围解题导引 第(2)问中，由于 SAOB随点 A，B 的变化而变化，而APPB，故 AB 的变化引起点 P 的变化，从而 值发生变化，故选 为参数建立 SAOB与 的函数关系，运用函数求值域的方法确定 SAOB 面积的取值范围解(1)由题意可得 a24，b21，所以双曲线 C 的方程为y24x21.(2)
9、由(1)知双曲线的两条渐近线方程为 y2x.可设 A(m,2m)，B(n,2n)m0，n0，由AP PB 可得 P 点的坐标为mn1，2(mn)1.将 P 点坐标代入y24x21，化简，得 mn(1)24.设AOB2，tan 2 kOA2.tan 12，sin 55，sin 245，OA 5m，OB 5n.SAOB12OA OB sin 22mn121 1.记 S()121 1，13，2，则 S()0 得 1，又S(1)2，S13 83，S(2)94，当 1 时，AOB 的面积取得最小值 2；当 13时，AOB 的面积取得最大值83，AOB 的面积的范围为2，83.归纳拓展 解析几何中，求参数
10、的取值范围问题，往往要与目标函数联系起来，利用目标函数的定义域、值域、单调性等知识来解决 变式训练 3 已知直线 yx1 与椭圆x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，且 OAOB(O 为坐标原点)，若椭圆的离心率 e12，22，求 a 的最大值解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)因为OA OB 0，所以x1x2y1y20，而 y1y2x1x2(x1x2)1，所以 2x1x2(x1x2)10.由yx1，x2a2y2b21，即(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.又直线与椭圆相交于两点，所以(2a2)24(a2b2)a2(1b2)0，整理得 a2b2(a2b21)0，即 a2
11、b21，又 x1x2 2a2a2b2，x1x2a2(1b2)a2b2，所以2a2(1b2)a2b2 2a2a2b210，即 a2b22a2b20.由 b2a2c2a2a2e2，代入上式整理，得 a212(111e2)又 e12，22，所以4311e22，73111e23，所以 a276，32，适合 a2b21.所以 a426，62.所以 a 的最大值为 62.规范演练1(2010福建)函数 f(x)x22x3，x0，2lnx，x0的零点个数为()A0 B1C2 D3C解析 当 x0 时，由 f(x)x22x30，得 x11(舍去)，x23；当 x0 时，由 f(x)2ln x0，得 xe2，所
12、以函数 f(x)的零点个数为 2，故选 C.2(2011辽宁)若函数 f(x)x(2x1)(xa)为奇函数，则 a 等于()A.12B.23C.34D1A解析 f(x)f(x)，x(2x1)(xa)x(2x1)(xa)，(2a1)x0，a12.3(2011安徽)已知ABC 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则ABC 的面积为_15 3解析 由于三边长构成公差为 4 的等差数列，故可设三边长分别为 x4，x，x4.由一个内角为 120知其必是最长边 x4 所对的角由余弦定理得(x4)2x2(x4)22x(x4)cos 120，2x220 x0，x0(舍去)或 x10.S
13、ABC12(104)10sin 12015 3.4已知数列an是递增数列，且对于任意的 nN*，ann2n 恒成立，则实数 的取值范围是_3解析 由an是递增数列，得 anan1 对 nN*恒成立，即n2n(n1)2(n1)，整理得(2n1)而(2n1)3，所以 3.5若 a、b 是正数，且满足 abab3，求 ab 的取值范围解 方法一(看成函数的值域)abab3，a1，ba3a1，而 b0，a3a10，即 a1 或 a0，a1，故 a10.abaa3a1(a1)25(a1)4a1(a1)4a159.当且仅当 a1 4a1，即 a3 时取等号又 a3 时，(a1)4a15 是关于 a 的单调
14、增函数ab 的取值范围是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b 为正数，ab2 ab，又 abab3，ab2 ab3.即(ab)22 ab30，解得 ab3 或 ab1(舍去)，ab9.ab 的取值范围是9，)方法三 若设 abt，则 abt3，a，b 可看成方程 x2(t3)xt0 的两个正根从而有(t3)24t0abt30abt0，即t1或t9t3t0，解得 t9，即 ab9.ab 的取值范围是9，)6已知函数 f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数 f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)若对一切 x(0，),2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)证明
15、：对一切 x(0，)，ln x1ex 2ex恒成立(1)解 因为 f(x)ln x1，所以当 x(0，1e)时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x1e，时，f(x)0，f(x)单调递增当 0tt21e时，t 无解；当 0t1et2，即 0t1e时，f(x)minf 1e 1e；当1ett2，即 t1e时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tln t，所以 f(x)min1e，0t1e，tln t，t1e.(2)解 由题意，知 2xln xx2ax3，则 a2ln xx3x.设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)(x3)(x1)x2.因为 x(0，)，所以当 x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减；当 x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增所以 h(x)minh(1)4.因为对一切 x(0，),2f(x)g(x)恒成立，所以 ah(x)min4.(3)证明 问题等价于证明 xln xxex2e(x(0，)由(1)，可知当 x1e时，f(x)xln x(x(0，)有最小值是1e.设 m(x)xex2e(x(0，)，则 m(x)1xex.易得 m(x)maxm(1)1e.从而对一切 x(0，)，都有 ln x1ex 2ex恒成立返回
