1、第一节 曲线与方程 曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在之间. 考试要求 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程.题型一 曲线与方程 例 设集合非空.如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,给出以下四个命题：曲线上的点的坐标都满足方程；坐标满足方程的点有些在上,有些不在上；坐标满足方程的点都不在曲线上；一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程.那么正确命题的个数是( ). A. B.
2、C. D. 点拨：直接用定义进行判断. 解：“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,意味着“坐标满足方程的点不都在曲线上”是正确的,即一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程,正确；曲线上的点的坐标可以有不满足方程的,错；若满足方程的只有一解,则错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,错.故选A. 易错点：定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项. 变式与引申2.已知定点不在直线：上,则方程表示一条( ). A.过点且平行于的直线 B.过点且垂直于的直线 C.不过点但平行于的直线 D.不过点但垂直于的直线 题型二 代入法(相关点法)求曲线方程 例 已知点,点、
3、分别在轴、轴上,且,当点在轴上运动时,求点的轨迹方程. 点拨：由确定与的坐标关系,由建立动点与、的坐标关系,用代入法求轨迹方程. 解：设,又,则,.由,得 .由,得,即,代入得,即,当时,三点、重合,不满足条件,故点的轨迹方程为. 易错点：忽视轨迹方程中的. 变式与引申3.已知为坐标原点,点、分别在轴、轴上运动,且,动点满足,求动点的轨迹方程.题型三 待定系数法、直接法求曲线方程 例 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和. 求椭圆的方程； 若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(为椭圆的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 点拨：
4、问题用待定系数法求椭圆的方程；问题将点、的坐标代入满足的关系式中,化简后可得到点的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量的取值范围. 解：设椭圆的标准方程为,半焦距为,则,解得,.故椭圆的标准方程为. 设,其中.由已知得,而,.由点在椭圆上,得,代入上式并化简得,故点的轨迹方程为轨迹是两条平行于轴的线段. 易错点： 第小问中未注意到点与的坐标关系,会造成求点轨迹方程的思路受阻；忽视变量的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断. 变式与引申4.已知椭圆：的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切. 求椭圆的方程； 设该椭圆的左、右焦点分别为、,直线过且与轴垂直,动直线与轴垂
5、直,交与点,求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程,并指明曲线类型.题型四 定义法求曲线方程与实际应用问题 例 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距的、两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过、两点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(如图所示).考察范围到、两点的距离之和不超过的区域.求考察区域边界曲线的方程；如图所示,设线段是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动,以后每年移动的距离为前一年的倍.问：经过多长时间,点恰好在冰川边界线上？ 点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察
6、区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离公式、等比数列求和公式等知识能使第小问获解. 解：设考察区域边界曲线上点的坐标为.则由知,点在以、为焦点,长轴长为的椭圆上,此时短半轴长,故考察区域边界曲线的方程为. 易知过点、的直线方程为,点到直线的距离.设经过年,点恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得,解得.故经过年,点恰好在冰川边界线上. 易错点：不能正确建立应用题的数学模型；数学阅读分析能力不强,易出现审题错误.图 变式与引申5.某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆
7、变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.观测点、同时跟踪航天器. 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； 试问：当航天器在轴上方时,观测点、测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？本节主要考查： 知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程； 依据动点轨迹的几何条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法解决求曲线(轨迹)方程的问题,及应用题背景下的求曲线(轨迹)方程的问题； 求曲线(轨迹)方程时：恰当建立坐标系,使所求方程更简单； 利用圆锥曲线的定义,运用平面几何知识,可以大大简化求解运算过程. 解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思
8、想、等价转化思想、分类讨论思想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力.点评： 求曲线(轨迹)方程的常用方法有： 直接法：直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立,之间的关系(如例第问).其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程)； 待定系数法：已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,求出曲线的方程(如例第问)； 定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(如例)； 代入法(相关点法)：有些问题中,动点是随着另一动点(称之为相关点)而运
9、动的,并且点在某已知的曲线上,这时可先用、的代数式来表示、,再将、的表达式代入已知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例及变式). 要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别：求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线(轨迹)方程即可；求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图形的(形状、位置、大小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答. 在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求曲线(轨迹)方程的完整性.习题6-1.方程的曲线是( ). A.一个点 B.一条直线 C.一个点和一条直线 D.两条直线.已知双曲线的一条渐近线方程是
10、,它的一个焦点与抛物线的焦点相同.则双曲线的方程为.3.已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为. 求椭圆的标准方程； 过点的直线与该椭圆交于、两点,且,求直线的方程.4（2011高考江西卷文）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值【答案】4. 解：由得,又,故椭圆的方程为.由知,由题意可设,则线段的中点为.设是所求轨迹上的任意一点,由于,则,消去参数得,故所求点的轨迹方程为,其轨迹为顶点在原点、开口向左、焦点为的抛物线(除去原点).5. 解：设曲线方程为,将点,代入曲线方程,得,故曲线方程为.设变轨
11、点为,联立,得,或(舍去).由,得或(舍去).点,此时, .故当观测点、测得、的距离分别为、时,应向航天器发出变轨指令.习题6-1. D提示：由得,或,故方程的曲线是两条直线. 提示：由渐近线方程可知.抛物线的焦点为,.又.联立,解得,双曲线的方程为.解：、成等差数列,即,点到两定点、的距离之和为定长,故的轨迹是以、为焦点的椭圆,其方程为.又,点在轴左侧,又点与、构成三角形,点不能在上,点的轨迹的方程为.假设存在直线满足条件.当的斜率存在时,设的方程为,代入的方程,得.与有两个不同的交点,.,解之得.由弦长公式得,.设原点到直线距离为,则.,即.解得,与不符.当的斜率不存在时,的方程为.此时,直线不符合.综上知,满足题给条件的直线不存在.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
