1、第5节二次函数与一元二次方程、不等式考试要求1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集Ra
2、x2bxc0(a0)的解集x|x1xx23.(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解集不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(a(a0)的解集为(，a)(a，)；|x|0)的解集为(a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax2bxc0(0(0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)0等价于(xa)(xb)0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)不等式x2a的解集为，.()(4)若方程ax2bxc
3、0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0(a0)的解集为R.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)错误.0等价于(xa)(xb)0且xb.(3)错误.当a0时，其解集为0，当a0时，其解集为.(4)若方程ax2bxc0(a0(a0)的解集为.2.(2021湖南师大附中月考)已知集合Ax|x22x30，Bx|ylg(x1)，则AB()A.(3，) B.(1，)C.(1，1) D.(1，3)答案D解析易知Ax|1x3，Bx|x1，则ABx|1x3，故选D.3.(2022福州质检)若不等式ax2bx20的解集为，则ab的值是()A.10 B.14 C.10 D.14答案A解析由题意知，是方程
4、ax2bx20的两根，所以解得故ab10.4.(多选)(2022青岛质检)关于x的不等式(ax1)(x2a1)0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为()A. B.1 C.1 D.2答案AC解析由题意知a0，则排除B，D；对于A，当a时，(x2)0，即(x2)(x2)0，解得2x2，恰有3个整数，符合题意；对于C，当a1时，(x1)(x3)0，即(x1)(x3)0，解得1x3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.5.(2021上海卷)不等式1的解集为_.答案(7，2)解析1，即10，即0，解得7x2，因此不等式的解集为(7，2).6.(易错题)不等式mx2mx10对一切xR恒成立，则实数m的取值范
5、围是_.答案0，4)解析当m0时，10，不等式恒成立，当m0时，得0m4.综上，0m4.考点一一元二次不等式的求解角度1不含参数的不等式例1 (1)不等式2x2x30的解集为()A.B.C.(，1)D.(1，)答案C解析2x2x30可化为2x2x30，即(x1)(2x3)0，x1或x.(2)不等式0的解集为()A.2，1B.(2，1C.(，2)(1，)D.(，2(1，)答案B解析原不等式化为即解得2x1.(3)不等式0x2x24的解集为_.答案2，1)(2，3解析由题意得故即2x1或2x3.故不等式的解集为2，1)(2，3.角度2含参数的不等式例2 解关于x的不等式ax2(a1)x10(aR)
6、.解原不等式变为(ax1)(x1)0，当a0时，所以(x1)0，所以当a1时，解得x1；当a1时，解集为；当0a1时，解得1x.当a0时，原不等式等价于x10，即x1.当a0时，1，原不等式可化为(x1)0，解得x1或x.综上，当0a1时，不等式的解集为，当a1时，不等式的解集为，当a1时，不等式的解集为，当a0时，不等式的解集为x|x1，当a0时，不等式的解集为.感悟提升含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项
7、系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式的正负，以便确定解集的形式.(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.训练1 解关于x的不等式：x2(aa2)xa30(aR).解将不等式x2(aa2)xa30变形为(xa)(xa2)0.当a0时，aa2，原不等式的解集为x|xa或xa2；当a0时，aa20，原不等式的解集为x|x0；当0a1时，aa2，原不等式的解集为x|xa2或xa；当a1时，aa21，原不等式的解集为x|x1；当a1时，aa2，原不等式的解集为x|xa或xa2.综上所述，当a0或a1时，原不等式的解集为x|xa或xa2；当a0时，原不等式的解集为x|x
8、0；当0a1时，原不等式的解集为x|xa2或xa；当a1时，原不等式的解集为x|x1.考点二三个二次之间的关系例3 已知关于x的不等式ax2bxc0的解集是，求不等式ax2bxc0的解集.解由条件知2，是方程ax2bxc0的两根，且a0，所以2，(2)，所以ba，ca.从而不等式ax2bxc0，即为a0.因为a0，所以原不等式等价于2x25x20，即(x2)(2x1)0，解得x2.所以不等式的解集为.感悟提升1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数
9、的关系求待定系数.训练2 若ax2bxc0的解集为(，2)(4，)，则对于函数f(x)ax2bxc，有()A.f(5)f(2)f(1)B.f(2)f(5)f(1)C.f(1)f(2)f(5)D.f(2)f(1)f(5)答案D解析因为ax2bxc0的解集为(，2)(4，)，所以a0，且2，4是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系得所以所以函数f(x)ax2bxcax22ax8aa(x22x8)，其图象的对称轴为直线x1，开口向上，所以f(2)f(1)f(5).考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数R上恒成立例4 若关于x的不等式(a2)x22(a2)x40对一切实数x恒成立，则实数a的
10、取值范围是()A.(2，2)B.(，2)(2，)C.(2，2D.(，2答案C解析当a20，即a2时，不等式恒成立，符合题意.当a20，即a2时，要使不等式恒成立，需满足解得2a2.综上可知，a的取值范围为(2，2.角度2在给定区间上恒成立例5 (1)设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_. 答案解析要使f(x)m5在1，3上恒成立，故mx2mxm60，则mm60在x1，3上恒成立.法一令g(x)mm6，x1，3.当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m.当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以
11、g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是.法二因为x2x10，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可.因为m0，所以m的取值范围是.(2)(2022宁波模拟)若对任意的t1，2，函数f(x)t2x2(t1)xa总有零点，则实数a的取值范围是_.答案解析函数f(x)t2x2(t1)xa总有零点等价于方程t2x2(t1)xa0的根的判别式(t1)24at20对任意的t1，2恒成立，所以a对任意的t1，2恒成立.令g(t)，t1，2.因为t1，2，所以，所以g(t)，即的最小值为.故实数a的取值范围是.角度3给定参数范围的恒
12、成立问题例6 已知a1，1时，不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为()A.(，2)(3，)B.(，1)(2，)C.(，1)(3，)D.(1，3)答案C解析把不等式的左端看成关于a的函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立，得f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式组得x1或x3.感悟提升(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.若ax2bxc0恒成立，则有a0，且
13、0；若ax2bxc0恒成立，则有a0，且0.对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).训练3 已知关于x的不等式2x1m(x21).(1)是否存在实数m，使不等式对任意xR恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m2，2恒成立，求实数x的取值范围；(3)若不等式对于x(1，)恒成立，求m的取值范围.解(1)原不等式等价于mx22x(1m)0，当m0时，2x10不恒成立；当m0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则需m0且44m(1m)0，无解，所以不存在实数m，使不等式恒成立.(2)设f(m)(x21)m(2x1)，当m2，2时，f(m)0恒成立.当且仅当由，得
14、x.由，得x或x.取交集，得x.所以x的取值范围是.(3)因为x1，所以m.设2x1t(t1)，x21，所以m.设g(t)t2，t(1，)，显然g(t)在(1，)上为增函数.当t时，t2，0，所以m0.一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点：(1)一元二次函数的开口方向；(2)一元二次函数方程的根的判别式；(3)一元二次函数图象的对称轴与区间的关系；(4)一元二次函数在区间端点处函数值的符号.只要能准确把握以上四点，这类问题就能够顺利解决.例1 已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围；(2
15、)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.解(1)设函数f(x)x22mx2m1，与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得m.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组m1.例2 (1)已知二次函数f(x)(m2)x2(2m4)x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.解由(m2)f(1)0，即(m2)(2m1)0，2m，即m的取值范围为.(2)已知方程2x2(m1)xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围.解设f(x)2x2(m1)xm，由0m32或m32，即m的取值范围为(0，32)(32，).1.不等式x23x100的
16、解集为()A.(2，5)B.(，2)(5，)C.(5，2)D.(，5)(2，)答案A解析由x23x100得x23x100，解得2x5.2.函数y的定义域为()A.(4，1) B.(4，1)C.(1，1) D.(1，1答案C解析由解得1x1.3.关于x的不等式x2px20的解集是(q，1)，则pq的值为()A.2 B.1 C.1 D.2答案B解析依题意得q，1是方程x2px20两根，q1p，即pq1.4.(2021东北三省三校联考)已知关于x的不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，则k的取值范围是()A.0，1B.(0，1C.(，0)(1，)D.(，01，)答案A解析当k0时，不等式kx26
17、kxk80可化为80，其恒成立；当k0时，要满足关于x的不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，只需解得0g(3)，g(x)min，3，a，故a的取值范围是.14.解关于x的不等式ax222xax(aR).解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式可化为x10，解得x1.当a0时，原不等式可化为(x1)0，解得x或x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1；当1，即2a0时，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.
