1、9.5 三定问题及最值（精讲）一 定点1. 参数法解决定点问题的思路:引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二定值1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，
2、从而得到定值.三定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.四最值解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围
3、.5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.考点一 定点【例1-1】（2023四川成都校联考模拟预测）已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍(1)求实数和的值；(2)若梯形的顶点都在椭圆上，直线与直线相交于点且点在椭圆上，证明直线恒过定点【例1-2】（2023福建泉州统考模拟预测）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.(1)求的方程；(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.【一隅三反】1（2023福建福州福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，A，B分别是C
4、的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.2（2023福建厦门厦门一中校考一模）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于(1)求动点的轨迹的方程；(2)经过点和的圆与直线：交于，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.考点二 定值【例2】（2023江西九江统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆
5、的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值【一隅三反】1（2023四川成都校联考模拟预测）已知椭圆：（）与椭圆：（）的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍(1)求实数a和b的值；(2)若梯形的顶点都在椭圆上，直线BC与直线AD相交于点P且点P在椭圆上，试探究梯形的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由2（2023河南校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.考点三 定直线【例3
6、】（2023河南洛阳模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.【一隅三反】1（2023安徽安庆安徽省桐城中学校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.(1)求双曲线的方程；(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交
7、于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由2（2023安徽阜阳安徽省临泉第一中学校考三模）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.考点四 最值【例4-1】（2023江西景德镇统考三模）设椭圆的左右顶点分别为，且焦距为.点在椭圆上且异于两点，若直线与的斜率之积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线，交于点.求面积的最大值.【一隅三反】1（2023河南开封统考模拟预测）已知点在椭圆上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0(1)求直线的斜率；(2)求的面积的最大值（为坐标原点）2（2023陕西宝鸡校考一模）设抛物线，直线与C交于A，B两点，且.(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，求面积的最小值.
