1、 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系（1）一、 学习目标1.会判定直线与圆锥曲线的位置关系；2.掌握弦长公式与中点坐标公式的运用；3.初步体会设而不求，整体代入的处理技巧.二、知识要点1.直线与椭圆的位置关系：位置关系图形公共点个数判定相交2个相切1个相离0个判断直线与椭圆位置关系的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程；(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程；(3)0时，直线与椭圆相交；0时，直线与椭圆相切；0时，直线与椭圆相离2.直线与抛物线的位置关系：位置关系图形公共点个数判定相交2个或1个或二次项为0相切1个相离0个3.中点坐标公式与弦长公式：若斜率为的直线与曲线交于、，则弦的中点； 弦长
2、.4.点差法： （1）本质：刻画弦所在直线的斜率与弦中点的坐标的关系； （2）步骤：设两端、代方程、两相减、得斜率.三、典例分析例1.已知直线与椭圆（1） 判断直线与椭圆的位置关系；（2）设是椭圆上的一个动点，求到直线的距离的最大值.【答案】（1）相交； （2）.例2.（1）已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（2）已知抛物线，直线过定点，当为何值时，直线与抛物线有1个公共点；有2个公共点？没有公共点？【答案】（1）A； （2） 且时，有2个公共点；或或时，有1个公共点；或时，无公共点.例3
3、已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点【答案】当垂直于轴时，直线与双曲线相切，有一个公共点当与轴不垂直时，设直线的方程为，代入双曲线的方程中，有当，即或时，方程有一个解当时，令，可得；令，可得；令，可得综上所述，当斜率或直线的斜率不存在时，直线与双曲线有1个公共点；当时，直线与双曲线有2个公共点；当直线的斜率时，直线与双曲线没有公共点例4.已知斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点，（1）若，求弦的中点的坐标及弦长； （2）求弦长的最小值.【答案】（1）与； （2）.例5.已知为椭圆内的一点，经过点引一条弦交椭圆于，两点，且此
4、弦被点平分，则此弦所在直线的方程为_.【答案】 例6. 已知抛物线与直线相交于、两点，点为坐标原点 .（1）求的值； （2）若的面积等于，求直线的方程.【答案】（1）设 ，由题意可知：，联立得：，显然：， （2），解得，直线的方程为或.四、课外作业1.直线ykxk1与椭圆1的位置关系为（ ）A相交 B相切 C相离D不确定【答案】A2过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有（ ）A1条 B2条 C3条D4条【答案】C3过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，则（ ）A BCD【答案】C4经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原
5、点，则等于（ ）A3 B C或3D【答案】B5已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为（ ）A1 B1 C1 D1【答案】D6已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（ ）ABCD【答案】D7.已知直线l：ykx2，椭圆C：y21. 若直线l与椭圆C相切，则_【答案】k8斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=_【答案】9.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是_【答案】 10.已知抛物线上存在关于直线xy0对称的相异两点、，_.【答案】；11已知曲线：和
6、直线：（1）若直线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；（2）若直线与曲线交于，两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值【答案】（1）由消去，得直线与双曲线有两个不同的交点，解得，且，实数的取值范围为；（2）设，由（1）可知，点到直线的距离，即，或实数的值为0，12在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左焦点为，且点在上（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线C2：相切，求直线的方程.【答案】(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，所以c1.将点P(0，1)代入椭圆方程1，得1，即b1. 所以a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于
7、0，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理，得2k2m210， 由消y，得k2x2(2km4)xm20.直线l与抛物线C2相切，2(2km4)24k2m20，整理，得km1， 联立、，得或l的方程为yx或yx.13已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】（）由已知得解得，所以椭圆E的方程为（）设点AB中点为由所以从而.所以.,故所以，故G在以AB为直径的圆外解法二：（）同解法一.（）设点，则由所
8、以从而所以，又不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外14已知直线经过点，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程.【答案】若直线的斜率不存在，则直线与抛物线有两个交点，不合题意.设直线的方程为，由，消去并整理，得.（1）当时，直线与抛物线只有一个公共点，解得或.故直线的方程为或.（2）当时，即直线与轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，此时.故满足条件的直线有三条，它们的方程是或或.15已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：（1）若与只有一个公共点，求的值；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积【答案】（1）依题意消去得，即，当时，显然方程只有一个解，满足条件；当时，解得
9、；综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，由，消去得，所以，所以，所以.16已知F1是椭圆C：的左焦点，经过点P（0，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，直线l1与C交于点A，B当直线l1经过点F1时，直线l2与C有且只有一个公共点（1）求C的标准方程；（2）若直线l2与C有两个交点，求|AB|的取值范围【答案】（1）设，其中当直线l1经过点F1时，直线l1的斜率，直线l2的斜率为，方程为，与椭圆C的方程联立，消去y得：，整理得：直线l2与椭圆C有且只有一个公共点，即由得：，解得：，C的标准方程为（2）由题意知：直线l1的斜率存在且不为零，设其方程为，与椭圆C的方程联立，消去y得：，则，解得：同理：当直线l2与椭圆C有两个交点时，设，则，设，则t（4，19），在（4，19）上单调递增，|AB|的取值范围是
