1、8.6.2 直线与平面垂直第2课时 直线与平面垂直的性质 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第八章立体几何初步的第六节空间直线、平面的垂直。以下是本节的课时安排：8.6空间直线、平面的垂直课时内容8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直8.6.3平面与平面垂直所在位置教材第146页教材第149页教材第155页新教材内容分析本节内容是利用空间直线平行的传递性和等角定理，探究异面直线所成的角，渗透把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的主线是类似的，都
2、是以定义判定性质为主线，通过定理的探索过程，培养了学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务。本节内容是空间平面与平面垂直，与研究直线与平面垂直一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理。核心素养培养通过实物观察、抽象出异面直线夹角的定义，培养直观想象的核心素养；借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养。通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习二面
3、角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.教学主线垂直关系的相互转化前面已经掌握了线线垂直和线面垂直，本节借助学生已有知识继续研究线面垂直，是对前面内容的继续。1.掌握直线与平面垂直性质定理并能运用其解决相关问题,培养逻辑推理的核心素养 ；2. 理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义，提升数学抽象的核心素养。1.重点：直线与平面平行的性质定理；直线到平面的距离以及两平行平面的距离。2.难点：能运用直线与平面垂直性质定理解决相关问题。（一）新知导入如图是马路旁的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,地面看作平面,灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系?【问题】灯柱所在的直线间是什么位置关系
4、?【提示】灯柱所在的直线都是平行的.（二）直线与平面垂直知识点一直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行(2)图形语言：(3)符号语言：a，bab.(4)作用：线面垂直线线平行；作平行线【拓展】直线与平面垂直的其他性质：(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于这个平面内的任意一条直线；(2)两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面；(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面；(4)垂直于同一条直线的两个平面平行【辩一辩】判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.()(2)若直
5、线a平面，直线a直线b，则直线b平面.()答案：(1)(2)【做一做】ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则不重合的直线l，m的位置关系是()A相交B异面 C平行D不确定【解析】直线lAB，lAC，且ABACA，l平面，同理直线m平面.由线面垂直的性质定理可得lm.答案：C知识点二点面距、线面距与面面距(1)过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到
6、另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面之间的距离【做一做】若直线AB平面，且点A到平面的距离为2，则点B到平面的距离为_.答案：2（三）典型例题1.直线与平面垂直的性质例1.如图所示，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD1.【证明】如图所示：连接AB1，B1D1，B1C，BD.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1.又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可证BD1B1C.又B1CACC，BD1平面AB1C.EFAC，EFA1D，又A1DB1C，EFB1C.又ACB1CC，E
7、F平面AB1C，EFBD1.【类题通法】应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的，即线面垂直的性质提供了线线平行的依据【巩固练习1】在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AEPD于点E，l平面PCD，求证：lAE.【证明】PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又CDAD，PAADA，CD平面PAD.又AE平面PAD，AEDC.又AEPD，PDCDD，AE平面PCD.又l平面PCD，AEl.2.点面距、线面距与面面距例2. 已知ABC，ACBC1，AB，又已知S是ABC所在平面外一点，SASB2，SC，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离【解】如图所示，连
8、接PA，PB.易知SAC，ACB是直角三角形，所以SAAC，BCAC.取AB、AC的中点E、F，连接PF，EF，PE，则EFBC，PFSA.所以EFAC，PFAC.因为PFEFF，所以AC平面PEF.又PE平面PEF，所以PEAC.易证SACSBC.因为P是SC的中点，所以PAPB.而E是AB的中点，所以PEAB.因为ABACA，所以PE平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离在RtAEP中，APSC，AEAB，所以PE ，即点P到平面ABC的距离为.【类题通法】求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方
9、法线面距、面面距都可以转化为点面距。【巩固练习2】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，BB12.(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离【解】(1)因为B1C1BC，所以A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成的角因为BCAB，BCBB1，ABBB1B，所以BC平面ABB1，所以BCA1B.在RtA1BC中，tanA1CB，所以异面直线B1C1与A1C所成的角的正切值为.(2)因为B1C1平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为VB1A1BCVA1B
10、B1C，所以SA1BCdSB1BCA1B1，可得d，直线B1C1与平面A1BC的距离为.3.直线与平面位置关系的综合应用例3.ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F是BE的中点求证：(1)DF平面ABC；(2)AFBD.【证明】(1)如图，取AB的中点G，连接FG，CG，可得FGAE，FGAE.CD平面ABC，AE平面ABC，CDAE.又CDAE.FGCD，FGCD.FG平面ABC，四边形CDFG是矩形，DFCG.又CG平面ABC，DF平面ABC，DF平面ABC.(2)在RtABE中，AE2a，AB2a，F为BE中点，AFBE.ABC是正三角形，CGAB，D
11、FAB.又DFFG，FGABG，DF平面ABE.又AF平面ABE.DFAF.BEDFF，AF平面BDF.又BD平面BDF，AFBD.【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系【巩固练习3】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD，AB2，PC2，E，F分别是棱PC，AB的中点(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥CAEF的体积【解析】(1)证明：如图，取PD中点为G，连接EG，AG，则EGCD，EGCD，AFCD，AFCD，所以EG与AF平行且相等，所以
12、四边形AGEF是平行四边形，所以EFAG，AG平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)解：连接AC，BD，交于点O，连接EO，因为E为PC的中点，所以EO为PAC的中位线，又因为PA平面ABCD，所以EO平面ABCD，即EO为三棱锥EAFC的高在菱形ABCD中可求得AC2，在RtPAC中，PC2，所以PA4，EO2，所以SACFSABCABBCsinABC，所以VCAEFVEACFSACFEO2.（四）操作演练 素养提升1.已知PA矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是()APBBC BPDCD CPDBD DPABD2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD
13、1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()A1条 B2条 C3条 D无数条3.若a，b表示不同的直线，表示平面，下列命题中正确的个数为()a，bab；a，abb；a，abb；a，bab.A1 B2 C3D04.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则A1B1到平面D1EF的距离是_答案：1.C 2.A 3.B 4. 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第155页 练习 第1，2,3,4题 第162页 习题8.6 第1,2题
