1、 8.3 简单几何体的表面积和体积第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第八章立体几何初步的第三节简单几何体的表面积和体积。以下是本节的课时安排：8.3简单几何体的表面积和体积课时内容第1课时 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征所在位置教材第114页教材第116页新教材内容分析本节内容是棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积求法，由之前学过的正方体、长方体的表面积与体积导入，引出本节要学的内容。本节内容是圆柱、圆锥、圆台与球的表面积与体积求法，由上一节的多面体表面积与体积导入，引出本节要学的内容
2、。核心素养培养借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养；通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.借助圆柱、圆锥、圆台、球的表面积、体积的计算，培养数学运算素养；通过对圆柱、圆锥、圆台、球的体积的探究，提升逻辑推理的素养.教学主线圆柱、圆锥、圆台、球的结构前面我们明确研究对象：棱柱、棱锥、棱台的结构特征，为本节学习圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积做好知识准备. 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式,培养数学抽象的核心素养；2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积，提升数学运算的核心素养。1.重点：通
3、过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法。2.难点：会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积。（一）新知导入 1. 创设情境，生成问题如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.【问题】(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？【提示】(1)先求出金属零件的体积，再求其质量.(2)求其侧面展开图的面积，再加上底面面积就是其表面积.（二）圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积旋转体侧面展开图底面积、侧面积、表面积圆柱底面积：S
4、底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r22rl圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr2rl圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rr)l表面积：Sr2r2(rr)l【做一做1】如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为_答案：2【做一做2】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A. B. C. D.解析：设底面圆半径为r，母线长为h，h2r，则.答案：A【做一做3】若一个圆台如图所示，则其侧面积等于()A.6 B.6C.3 D.6解析：圆台的母线长为，S圆台侧(12)3.答案：C知识点二圆柱、圆锥、圆台的体积旋转体体积公式
5、圆柱VShr2h圆锥VShr2hr2圆台V(S上S下)h(rrr1r2)h【做一做1】若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为()A. B. C. D.2解析：VSh31.答案：C【做一做2】.圆台的体积为7，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A.3 B.4 C.5 D.6解析：由题意知V(24)h7，故h3.答案：A【探究1】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?提示【探究2】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有
6、什么关系？提示 知识点三球的表面积与体积球的半径为R，则球的体积为，表面积为4R2.【辩一辩】1.两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.()2.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.()3.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.()【做一做1】直径为1的球的体积是()A.1 B. C. D.解析：R，故VR3.答案：B【做一做2】若一个球的体积为4，则它的表面积为()A.3 B.12 C.12 D.36解析：设球的半径为R，依题意有R34，所以R，S4R212.答案：C（三）典型例题1.圆柱、圆锥、圆台的表面积例1.圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角
7、为180，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留)解析：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180，故cSA210，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.【类题通法】求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常
8、需要列方程.【巩固练习1】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.解析：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有，即，R2r，圆锥的母线长lR，1.2.圆柱、圆锥、圆台的体积例2.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是()A11 B16 C17 D18解析：如图，设圆锥底半径OBR，高POh，O为PO中点，PO，OA，V圆锥POR2h.V圆台OOR2h.答案：C【类题通法】求几何体体积的常用方法【巩固练习2】圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是()A. B2 C. D.解析：S1
9、，S24，r1，R2，S侧6(rR)l，l2，h.V(142).答案：3.球的表面积与体积（1）球的截面问题例3.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积解析：(1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由截面性质知AO1BO2，O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1AO1，OO2BO2，设球的半径为R，O2B249，O2B7 cm，同理得：O1A20 cm.设OO1x，则OO2(x9)cm，在RtO1OA中，R2x2202，在RtOO2B中，R272(x9)2，联立可得x15，R25.S球4R22 500 cm2，故球的表面积为2
10、500 cm2.(2)当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1AO2B，O1，O2分别为两截面圆的圆心，且OO1O1A，OO2O2B.设球的半径为R，O2B249，O2B7 cm.O1A2400，O1A20 cm.设O1Ox cm，则OO2(9x)cm.在RtOO1A中，R2x2400.在RtOO2B中，R2(9x)249. x2400(9x)249，解得x15，不合题意，舍去综上所述，球的表面积为2 500 cm2.【类题通法】球的截面问题的方法归纳：设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该
11、直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解.【巩固练习3】在半径为R的球面上有A，B，C三点，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.解析：依题意知，ABC是正三角形，ABC的外接圆半径r3.由R2()2，得R2.所以球的表面积S4R216.（2）球的切、接问题例4.（1）在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.解析：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CCa，OC.在RtCCO中，由勾股定理，得CC2OC2OC2，即a2R2，Ra.从而V半球R3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3
12、a32.（2）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_.解析：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以.答案：【类题通法】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.【巩固练习4】若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上
13、，求此球的体积解析：正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即2R，所以R，所以V球()34.4.简单组合体的表面积与体积【例5】如图，四边形ABCD中，ABAD，AB1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积解析：旋转得到一个圆锥和圆台的组合体，V圆锥222，V圆台1(221221)，所以VV圆锥V圆台5.【类题通法】组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几
14、何体的体积，然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.【巩固练习5】如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内过点C作lCB，以l为轴旋转一周求旋转体的表面积和体积解析：如题图，在梯形ABCD中，ABC90，ADBC，ADa，BC2a，DCB60，CD2a，ABCDsin 60a，DDAA2AD2BC2AD2a，DODDa.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥由上述计算知，圆柱母线长a，底面
15、半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.圆柱的侧面积S122aa4a2，圆锥的侧面积S2a2a2a2，圆柱的底面积S3(2a)24a2，圆锥的底面积S4a2，组合体上底面积S5S3S43a2，旋转体的表面积SS1S2S3S5(49)a2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积V柱Sh(2a)2a4a3，V锥Sha2aa3，VV柱V锥4a3a3a3.（四）操作演练 素养提升1.在ABC中，AC2，BC2，ACB120，若ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是()A(62) B6 C(92)D22、已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，它的侧面积为16，则该圆
16、台上、下两个底面圆的周长之和为()A4 B6 C8D103、用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A. B. C.20 D.4、体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A.54 B.54 C.58 D.58答案：1.A 2. C 3.B 4.A【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第119页 练习 第1，2，3,4题 第119 页 习题8.3 第4,5,8,9题
