1、【学生版】第 8 章平面向量【8.2.2 向量的数量积的定义与运算律】【附录】相关考点考点一向量的数量积(又称为：内积)设与是两个非零向量，它们的夹角为，定义与的数量积：；理解：1、数量积又称为：内积；2、是向量在向量方向上的数量投影；是向量在向量方向上的数量投影；3、简记：；也就是：是实数哦4、规定零向量与任意向量的数量积为0；考点二向量数量积的运算律向量数量积的运算律设向量、和，是实数；（1）（交换律）；（2）（结合律）；（3）（分配律）；理解：1、向量的数量积不满足消去律；若、均为非零向量，且，但得不到；2、，因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况
2、下不成立3、；考点三向量数量积的性质与应用向量数量积的性质及其应用设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则1、；2、；3、当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；4、| (当且仅当向量，共线时，等号成立).5、向量，的夹角为锐角，得到；反之，不能说明，的夹角为锐角，因为，夹角为0时也有；同理，向量，的夹角为钝角，得到；反之，不能说明，的夹角为钝角，因为，夹角为180时也有；.6、；一、选择题（每小题6分，共12分）1、若向量，满足，与的夹角为60，则等于()AB C1 D22、若、是夹角为的单位向量，且2e2，32e2，则()A1 B4 C D二、填充题（每小题10分，共60分
3、）3、已知向量，满足|，则_4、向量，满足|1，|，与的夹角为60，则| 5、已知|2，(2b)()2，则与的夹角.大小为 6、已知非零向量，满足，与夹角的余弦值为，若，则实数的值为 7、对于任意向量、，下列命题中正确的序号是 ；8、给出下列结论：若，0，则；若，则；()()；()()0；其中正确结论的序号是 三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、已知正三角形ABC的边长为1，求：（1）；（2）；（3）.10、 （1）已知向量与满足|10，|3，且向量与的夹角为120；求：()()；(2)()；（2）已知单位向量，的夹角为，2，求在上的投影向量【教师版】第 8 章平面向量【8.2.2
4、向量的数量积的定义与运算律】【附录】相关考点考点一向量的数量积(又称为：内积)设与是两个非零向量，它们的夹角为，定义与的数量积：；理解：1、数量积又称为：内积；2、是向量在向量方向上的数量投影；是向量在向量方向上的数量投影；3、简记：；也就是：是实数哦4、规定零向量与任意向量的数量积为0；考点二向量数量积的运算律向量数量积的运算律设向量、和，是实数；（1）（交换律）；（2）（结合律）；（3）（分配律）；理解：1、向量的数量积不满足消去律；若、均为非零向量，且，但得不到；2、，因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立3、；考点三向量数量积的性质与应用
5、向量数量积的性质及其应用设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则1、；2、；3、当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；4、| (当且仅当向量，共线时，等号成立).5、向量，的夹角为锐角，得到；反之，不能说明，的夹角为锐角，因为，夹角为0时也有；同理，向量，的夹角为钝角，得到；反之，不能说明，的夹角为钝角，因为，夹角为180时也有；.6、；一、选择题（每小题6分，共12分）1、若向量，满足，与的夹角为60，则等于()AB C1 D2【提示】注意：向量数量积的定义；【答案】A；【解析】由|cos 6011；【考点】本题直接考查了向量数量积的定义；2、若、是夹角为的单位向量，且2e
6、2，32e2，则()A1 B4 C D【提示】注意：向量线性运算结果还是“一个”向量；【答案】C；【解析】由已知，得|cos ，所以(2)(32)6|22|2；故选C；【考点】本题综合考查了向量的线性运算与数量积计算；二、填充题（每小题10分，共60分）3、已知向量，满足|，则_【提示】注意：用好；【答案】.；【解析】方法1、由|1得2221，所以|22|21，所以21，所以|.方法2、如图，因为|1，所以AOB是正三角形，AOB60，所以|2222221，所以，所以|22221213，所以|.【考点】本题考查了利用向量的数量积求向量模的方法；4、向量，满足|1，|，与的夹角为60，则| 【提
7、示】注意：题设“|”的转化：【答案】；【解析】由题意得|2|2|22|cos 60，即1|2|，解得|；【考点】本题考查了向量的模的求法；求向量模的一般思路及常用公式：1、求向量模的常见思路：；2、)常用公式：()()22|2|2；|2()2222；5、已知|2，(2b)()2，则与的夹角.大小为 【提示】注意：用好数量积分式；【答案】；【解析】因为，(2)()|22|22，|2，所以2，设与的夹角为，所以，又因为，0，所以，；【考点】本题考查了利用向量数量积求向量的角；6、已知非零向量，满足，与夹角的余弦值为，若，则实数的值为 【提示】注意：向量垂直的等价条件；【答案】4；【解析】由题意知，
8、所以|22，因为(t)0，所以t20，即t220，所以t4.【考点】本题考查；解决有关垂直问题时，利用0(，为非零向量)；7、对于任意向量、，下列命题中正确的序号是 ；【提示】注意：理解向量数量积及其性质；【答案】；【解析】因为|cos (为，夹角)，所以|，所以错误；根据向量加法的平行四边形法则，|，只有当，同向时取“”，所以错误；因为()是向量，其方向与向量相同， ()是向量，其方向与向量的方向相同，所以错误；因为|cos 0|2，所以|，所以正确.【考点】本题综合考查了向量的数量积及其性质；8、给出下列结论：若，0，则；若，则；()()；()()0；其中正确结论的序号是 【提示】注意：理
9、解向量数量积及其性质；【答案】；【解析】因为当两个非零向量，垂直时，0，故不正确；当，时，0，但不能得出，故不正确；向量()与共线，()与共线，故不正确；() ()()()()()0，故正确【考点】本题综合考查了向量的数量积及其性质；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、已知正三角形ABC的边长为1，求：（1）；（2）；（3）.【提示】注意：结合图像明确“向量的夹角”；【解析】（1）因为，与的夹角为60，所以，|cos 6011.（2）因为，与的夹角为120，所以，|cos 12011.（3）因为，与的夹角为60，所以，|cos 6011；【考点】本题结合三角形考查了求平面向量数量积的方法；计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.10、 （1）已知向量与满足|10，|3，且向量与的夹角为120；求：()()；(2)()；（2）已知单位向量，的夹角为，2，求在上的投影向量【提示】注意：向量数量积的运算及其性质【解析】（1）()()22|2|2100991.因为|10，|3，且向量与的夹角为120，所以103cos 12015，所以(2)()222200159206.(2)设与的夹角为，则在上的投影向量为(2) 【说明】本题考查了向量数量积的运算及其投影向量；
