1、【学生版】第 8 章平面向量【8.2.1 向量的投影】【附录】相关考点考点一投影向量（简称为：投影）投影向量（简称为：投影）如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和，那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）；理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的；考点二向量的夹角以一点O为起点，作，我们把射线的夹角称为向量的夹角，记作：；取值范围为：；，又称向量垂直，记作；考点三数量投影据图：如果令为向量的单位向量，那么向量在向量方向上的向量投影为：；其中，实数（*）称为向量在向量
2、方向上的数量投影；理解：（1）当时；实数（*）大于0；（2）当时；实数（*）等于0；（3）当时；实数（*）小于0；特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0；一、选择题（每小题6分，共12分）1、已知ABCD中DAB30，则与的夹角为（ ）A30 B60 C120 D150【提示】；【答案】；【解析】；【考点】；2、已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量与数量投影分别是（ ）A. ， B. ， C. ，D. ，【提示】【答案】；【解析】；【考点】；二、填充题（每小题10分，共60分）3、两个向量夹角范围是 ，两条直线夹
3、角的范围为 【提示】；【答案】；【解析】；【考点】；4、已知两个非零向量和，O是平面上的任意一点，作，则AOB(0)叫做向量与的夹角(如图所示).（1）当0时，则向量与 ；（2）当时，则向量与 ；（3）垂直：如果向量与的夹角是，则称向量与 ，记作： ；.【提示】；【答案】；5、若ABC为等边三角形，则与的夹角为_，与的夹角为_6、设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，之间的关系为_7、已知|3，|2，设是同方向上的单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影向量为_8、已知，若在上的投影向量为，则_三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、已知，为单位向量，它们的夹角为，求：（1）向量在向
4、量上的投影向量；（2）向量在向量上的投影向量；10、如图，在ABC中，ABAC4，BAC90，D是BC边的中点，求：（1）在上的投影向量；（2）在上的投影向量；【教师版】第 8 章平面向量【8.2.1 向量的投影】【附录】相关考点考点一投影向量（简称为：投影）投影向量（简称为：投影）如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和，那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）；理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的；考点二向量的夹角以一点O为起点，作，我们把射线的夹角称为向量的
5、夹角，记作：；取值范围为：；，又称向量垂直，记作；考点三数量投影据图：如果令为向量的单位向量，那么向量在向量方向上的向量投影为：；其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影；理解：（1）当时；实数（*）大于0；（2）当时；实数（*）等于0；（3）当时；实数（*）小于0；特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0；一、选择题（每小题6分，共12分）1、已知ABCD中DAB30，则与的夹角为（ ）A30 B60 C120 D150【提示】理解向量的夹角；【答案】D；【解析】如图，与的夹角为ABC150.【考点】本题考查了向量
6、的几何表示与向量的夹角；2、已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量与数量投影分别是（ ）A. ， B. ， C. ，D. ，【提示】理解概念“投影向量”、“数量投影”；【答案】D；【解析】设在方向上的投影向量为，结合图形，故在方向上的投影向量为，（或直接套结论）在方向上的数量投影为.【考点】本题考查了向量在向量上的“投影向量”、“数量投影”；二、填充题（每小题10分，共60分）3、两个向量夹角范围是 ，两条直线夹角的范围为 【提示】注意：理解概念【答案】 0， ；【解析】向量夹角范围是0，而两直线夹角的范围为；【考点】本题通过对比考查了向量夹角与直线夹角的概念；4、已知两个非零向量和，O
7、是平面上的任意一点，作，则AOB(0)叫做向量与的夹角(如图所示).（1）当0时，则向量与 ；（2）当时，则向量与 ；（3）垂直：如果向量与的夹角是，则称向量与 ，记作： ；.【提示】理解概念【答案】（1）当0时，则向量与同向；（2）当时，则向量与反向.（3）垂直：如果向量与的夹角是，则称向量与垂直，记作：；5、若ABC为等边三角形，则与的夹角为_，与的夹角为_【提示】注意：数形结合理解向量的夹角；【答案】60；120；【考点】本题考查了向量的夹角；注意：向量的方向；6、设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，之间的关系为_【提示】注意：理解投影向量以及那个向量在哪个向量上的投影；【答案】
8、|cos；【考点】如图，设，b是两个非零向量，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量【注意】（1）向量在方向上的投影向量为|cos (其中为与同向的单位向量)，它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角的余弦决定；（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即向量在上的投影向量可表示为|b|cos .7、已知|3，|2，设是同方向上的单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影向量为_【提示】注意：题设“在方向上的投影向量”；【答案】；【解析】在方向上的投影向量为：；【考点】本题
9、考查了求投影向量的两种方法（1）在方向上的投影向量为|b|cos ，为，的夹角，在方向上的投影向量为|a|cos .（2）在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为. 8、已知，若在上的投影向量为，则_【提示】注意：求“在上的投影向量”【答案】2；【解析】设，的夹角为，则.由在上的投影向量为，得|cos 4|.由得|2.【考点】本题综合考查了投影向量及其向量的相关运算；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、已知，为单位向量，它们的夹角为，求：（1）向量在向量上的投影向量；（2）向量在向量上的投影向量；【提示】注意：投影向量的相对性；向量在向量上的投影向量：与向量共线，即向量在向量上投影
10、的数量乘以向量方向上的单位向量；同理，向量在向量上的投影向量亦如此；由向量的数量积的几何意义知：向量在向量上投影的数量为，向量在向量上投影的数量为，由此向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量【答案】（1） ；（2）；【解析】由已知，为单位向量，它们的夹角为；结合教材结论得：即向量在向量上的投影数量：；向量在向量上的投影数量：所以，向量在向量上的投影向量：；向量在向量上的投影向量：故答案为：；【考点】本题考查了教材对于投影向量的学习过程与结论；由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积（注意向量间的投影向量与向量间数量投影的区别）10、
11、如图，在ABC中，ABAC4，BAC90，D是BC边的中点，求：（1）在上的投影向量；（2）在上的投影向量；【提示】注意：数形结合理解投影向量；【答案】（1）2；（2）2；【解析】如图，连接AD，因为ABAC4，BAC90，所以ABC是等腰直角三角形又D是BC边的中点，所以ADBC，ABD45，所以BD2.延长AB到E，则与的夹角为DBE18045135.（1）设与向量方向相同的单位向量为，则在上的投影向量是|cos 13542；.（2）设与向量方向相同的单位向量为，则在上的投影向量是|cos 13522；.【考点】本题考查了求向量的投影向量；投影向量的求解策略：求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”；
