1、2015-2016学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线的倾斜角是（）ABCD2直线l过点P（2，2），且与直线x+2y3=0垂直，则直线l的方程为（）A2x+y2=0B2xy6=0Cx2y6=0Dx2y+5=03一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12，则该几何体的体积是（）A4B12C16D484在空间中，下列命题正确的是（）A如果直线m平面，直线n内，那么mnB如果平面内的两条直线都平行于平面，那么平面平面C如果平面外的一条直线m垂直于平面内的两条相交直线，
2、那么mD如果平面平面，任取直线m，那么必有m5“m=1”是“直线（m2）x3my1=0与直线（m+2）x+（m2）y+3=0相互垂直”的（）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6方程x2+2ax+y2=0（a0）表示的圆（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于直线y=x轴对称D关于直线y=x轴对称7如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A0B45C60D908如果过点M（2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9已知
3、双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为10如果直线3ax+y1=0与直线（12a）x+ay+1=0平行那么a等于11给出下列命题：（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则pq是假命题（2）命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题（3）“1x3”是“x24x+30”的必要不充分条件（4）若命题p：xR，x2+4x+50，则p：其中叙述正确的是（填上所有正确命题的序号）12直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为13抛物线y2=8x上到焦点距离等于6的点的坐标是14已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上
4、，当ABC的面积最小时，点C的坐标为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCCD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点求证：（I）AB平面EFG；（II）平面EFG平面ABC16已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程17如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ABCD，ABAD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上（I）求证：ADPB；（）若，则当为何值时，平面BEM平面PAB？（）在（II）的条件下，求证：PC平面BEM18如图，在三棱柱ABC
5、A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F分别是A1C1，AB的中点（I）求证：平面BCE平面A1ABB1；（II）求证：EF平面B1BCC1；（III）求四棱锥BA1ACC1的体积19已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4（I）求p的值；（II）若经过点D（2，1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围20已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）
6、的斜率的取值范围2015-2016学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线的倾斜角是（）ABCD【考点】直线的倾斜角【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可【解答】解：设倾斜角为，直线的斜率为，tan=，0180，=30故选A【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握2直线l过点P（2，2），且与直线x+2y3=0垂直，则直线l的方程为（）A2x+y2=0B2xy6=0
7、Cx2y6=0Dx2y+5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由直线的垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可【解答】解：直线x+2y3=0的斜率为，与直线x+2y3=0垂直的直线斜率为2，故直线l的方程为y（2）=2（x2），化为一般式可得2xy6=0故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题3一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12，则该几何体的体积是（）A4B12C16D48【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】几何体为圆柱，底面半径为2，根据侧面
8、积求出圆柱的高h，代入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，几何体的侧面积为22h=12，解得h=3，几何体的体积V=223=12故选B【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题4在空间中，下列命题正确的是（）A如果直线m平面，直线n内，那么mnB如果平面内的两条直线都平行于平面，那么平面平面C如果平面外的一条直线m垂直于平面内的两条相交直线，那么mD如果平面平面，任取直线m，那么必有m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】利用线面平行、平面与平面平行的判定与性质，线面垂直、平
9、面与平面垂直的判定与性质，即可得出结论【解答】解：对于A，直线m平面，直线n内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；对于B，如果平面内的两条相交直线都平行于平面，那么平面平面，故不正确；对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；对于D，如果平面平面，任取直线m，那么可能m，也可能m和斜交，；故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题5“m=1”是“直线（m2）x3my1=0与直线（m+2）x+（m2）y+3=0相互垂直”的（）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要
10、条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；转化思想；直线与圆；简易逻辑【分析】对m分类讨论，利用直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：2x1=0，2x2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：6y1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；当m0，2时，两条直线相互垂直，则=1，解得m=1综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2“m=1”是“直线（m2）x3my1=0与直线（m+2）x+（m2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，
11、考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题6方程x2+2ax+y2=0（a0）表示的圆（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于直线y=x轴对称D关于直线y=x轴对称【考点】圆的一般方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】方程x2+2ax+y2=0（a0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（a，0），即可得出结论【解答】解：方程x2+2ax+y2=0（a0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（a，0），方程x2+2ax+y2=0（a0）表示的圆关于x轴对称，故选：A【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键7如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，
12、点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A0B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角【分析】由EFA1D，A1BD1C，得DA1B是CD1与EF所成角，由此能求出CD1与EF所成角【解答】解：连结A1D、BD、A1B，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，EFA1D，A1BD1C，DA1B是CD1与EF所成角，A1D=A1B=BD，DA1B=60CD1与EF所成角为60故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8如果过点M（2，0）的直线l与椭圆
13、有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）ABCD【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设过点M（2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆方程联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k22=0，由此利用根的判别式能求出直线l的斜率k的取值范围【解答】解：设过点M（2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k22=0，过点M（2，0）的直线l与椭圆有公共点，=64k44（2k2+1）（8k22）0，整理，得k2，解得k直线l的斜率k的取值范围是，故选：D【点评】本题考查直线
14、的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，（，0）渐近线方程为y=2x【考点】双曲线的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的a，b，c，即可得到焦点坐标；由渐近线方程为y=x，可得所求渐近线方程【解答】解：双曲线的a=2，b=4，c=2，可得焦点的坐标为（，0），渐近线方程为y=x，即为y=2x故答案为：（，0），y=2x【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题10
15、如果直线3ax+y1=0与直线（12a）x+ay+1=0平行那么a等于【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由平行关系可得a的方程，解方程验证排除重合可得【解答】解：直线3ax+y1=0与直线（12a）x+ay+1=0平行，3aa=1（12a），解得a=1或a=，经检验当a=1时，两直线重合，应舍去故答案为：【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题11给出下列命题：（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则pq是假命题（2）命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题（3）“1x3”是“x24x+30
16、”的必要不充分条件（4）若命题p：xR，x2+4x+50，则p：其中叙述正确的是（4）（填上所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】证明题；转化思想；定义法；简易逻辑【分析】（1）判断命题p和q的真假即可（2）先判断命题“若x24x+3=0，则x=3”的真假即可（3）根据充分条件和必要条件的定义进行判断（4）根据含有量词的命题的否定进行判断【解答】解：（1）命题p：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题命题q：菱形的对角线相等为假命题；则pq是真命题，故（1）错误，（2）命题“若x24x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，（3）由
17、x24x+30得1x3，则“1x3”是“x24x+30”的充要条件，故（3）错误，（4）若命题p：xR，x2+4x+50，则p：正确，故答案为：（4）【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题12直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为3【考点】直线的一般式方程【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆【分析】由直线方程可得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得【解答】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=3，直线与坐标轴的交点为（0，2）和（
18、3，0），故三角形的面积S=23=3，故答案为：3【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题13抛物线y2=8x上到焦点距离等于6的点的坐标是（4，）【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】算出抛物线的焦点为F（2，0），准线为x=2设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，利用抛物线的定义可得m+2=6，解得m=4，进而利用抛物线方程解出n=4，可得所求点的坐标【解答】解：抛物线方程为y2=8x，可得2p=8， =2抛物线的焦点为F（2，0），准线为x=2设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，根据抛物线的定义，
19、得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=m+2=6，解得m=4，n2=8m=32，可得n=4，因此，点P的坐标为（4，）故答案为：（4，）【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题14已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当ABC的面积最小时，点C的坐标为（，）【考点】圆的标准方程【专题】转化思想；待定系数法；不等式的解法及应用；直线与圆【分析】设C（a，b）根据点A、B的坐标利用待定系数法求得直线AB方程，然后根据点到直线的距离和不等式的性质得到a、b的数量关系，将其代入圆的方程即可
20、求得a、b的值，即点C的坐标【解答】解：设C（a，b）则a2+b2=1，点A（2，0），点B（0，3），直线AB的解析式为：3x+2y6=0如图，过点C作CFAB于点F，欲使ABC的面积最小，只需线段CF最短则CF=，当且仅当2a=3b时，取“=”，a=，联立求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）故答案是：（，）【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCCD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点求证
21、：（I）AB平面EFG；（II）平面EFG平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（I）利用线线平行证明线面平行，利用三角形中位线的性质证明ABEG即可；（II）证明CD平面ABC，可得EF平面ABC，从而可证平面平面EFG平面ABC【解答】证明：（I）在三棱锥ABCD中，E，G分别是AC，BC的中点所以ABEG因为EG平面EFG，AB平面EFG所以AB平面EFG（II）因为AB平面BCD，CD平面BCD所以ABCD又BCCD且ABBC=B所以CD平面ABC又E，F分别是AC，AD，的中点所以CDEF所以EF平面A
22、BC又EF平面EFG，所以平面平面EFG平面ABC【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键16已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】先设直线的方程，再求出圆心到直线的距离，再由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和建立方程求解【解答】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25，所以，圆心坐标是（0，7），半径长r=5因为直线l被圆所截得的弦长是，所以，弦心距为，即圆心到所求直线l的距离为因为直线l的斜率为2，所以可
23、设所求直线l的方程为y=2x+b，即2xy+b=0所以圆心到直线l的距离为，因此，解得b=2，或b=12所以，所求直线l的方程为y=2x2，或y=2x12即2xy2=0，或2xy12=0【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用17如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ABCD，ABAD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上（I）求证：ADPB；（）若，则当为何值时，平面BEM平面PAB？（）在（II）的条件下，求证：PC平面BEM【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；
24、平面与平面垂直的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（I）由平面PAB平面ABCD可得AD平面PAB，进而得出ADPB；（II）由AD平面PAB可知当EMAD时，平面BEM平面PAB，故EM为PAD的中位线，所以=；（III）设CD的中点为F，连接BF，FM，则可证BFADEM，故FM平面BEM，由中位线定理得PCFM，从而PC平面BEM【解答】（I）证明：平面PAB平面ABCD，ABAD，平面PAB平面ABCD=AB，AD平面PAB又PB平面PAB，ADPB（II）解：由（I）可知，AD平面PAB，又E为PA的中点，当M为PD的中点时，EMAD，EM平面PAB，EM平
25、面BEM，平面BEM平面PAB此时，（III）设CD的中点为F，连接BF，FM由（II）可知，M为PD的中点FMPCABFD，FD=AB，ABFD为平行四边形ADBF，又EMAD，EMBFB，E，M，F四点共面FM平面BEM，又PC平面BEM，PC平面BEM【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F分别是A1C1，AB的中点（I）求证：平面BCE平面A1ABB1；（II）求证：EF平面B1BCC1；（III）求四棱锥BA1ACC1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与
26、平面垂直的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】（I）由BB1底面ABC得BB1BC，又ABBC，故BC平面A1ABB1，于是平面BCE平面A1ABB1；（II）取BC的中点D，连接C1D，FD，由中位线定理和平行公理可得四边形FDC1E是平行四边形，故而EFC1D，于是EF平面B1BCC1；（III）过点B作BGAC于点G，则BG为四棱锥的高，代入体积公式计算即可【解答】（I）证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以，BB1BC又因为ABBC且ABBB1=B，所以，BC平面A1ABB1因为BC平面BCE，所以，平面BCE平面A1ABB1（II
27、）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD因为E，F分别是A1C1，AB的中点，所以，FDAC且因为ACA1C1且AC=A1C1，所以，FDEC1且 FD=EC1所以，四边形FDC1E是平行四边形所以，EFC1D又因为C1D平面B1BCC1，EF平面B1BCC1，所以，EF平面B1BCC1（III）解：因为，ABBC所以，过点B作BGAC于点G，则因为，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AA1平面A1ACC1所以，平面A1ACC1底面ABC所以，BG平面A1ACC1所以，四棱锥BA1ACC1的体积【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题
28、19已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4（I）求p的值；（II）若经过点D（2，1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（I）由消y并整理，利用|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，即可求p的值；（II）由题意，直线m的方程为y=kx+（2k1），与抛物线方程联立，利用判别式，即可求k的取值范围【解答】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p0）的焦点坐标为，准线方程为所以，直线l的方程为由消y并整理
29、，得设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，所以p=1（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x由题意，直线m的方程为y=kx+（2k1）由方程组（1）可得ky22y+4k2=0（2）当k=0时，由方程（2），得y=1把y=1代入y2=2x，得这时直线m与抛物线只有一个公共点当k0时，方程（2）得判别式为=44k（4k2）由0，即44k（4k2）0，亦即4k22k10解得于是，当且k0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，因此，所求m的取
30、值范围是【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（I）由已知点在椭圆G上，离心率为，列出方程组求出a，b，能求出椭圆G的方程（II）点F的坐标为（1，0），设点P的坐标为（x0，y0），直线FP的方程为y=k（x+1），从而得设
31、直线OP的方程为y=mx得由此能求出直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围【解答】解：（I）椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为点在椭圆G上，又离心率为，解得椭圆G的方程为（II）由（I）可知，椭圆G的方程为点F的坐标为（1，0）设点P的坐标为（x0，y0）（x01，x00），直线FP的斜率为k，则直线FP的方程为y=k（x+1），由方程组消去y0，并整理得又由已知，得，解得或1x00设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx由方程组消去y0，并整理得由1x00，得m2，x00，y00，m0，m（，），由x01，得，x00，y00，得m0，m直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（，）（，）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用
