1、 8.12 圆锥曲线中的定值、定点问题 例 1如图，椭圆2222:1(0)xyEabab经过点(0,1)A，且离心率为22.（1）求椭圆 E 的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆 E 交于不同两点,P Q（均异于点 A），问：直线 AP 与 AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由 【答案】（1）椭圆的方程为2212xy.（2）由题设知，直线 PQ的方程为(1)1(2)yk xk，1122,P x yQ x y，120 x x，代入2212xy，得22(1 2)4(1)2(2)0kxk kxk k，由已知0，则1212224(1)2(2),1 21 2k
2、 kk kxxx xkk，从而121212111122APAQyykxkkxkkkxxxx 121212112(2)2(2)xxkkkkxxx x 4(1)222(21)22(2)k kkkkkk k.例 2已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为32，(,0)A a，(0,)Bb，(0,0)O，OAB的面积为 1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设 P 是椭圆C 上一点，直线 PA与 y 轴交于点M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：|ANBM为定值.【答案】（1）椭圆的方程为.（2）由（1）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，
3、所以.综上，为定值.例 3已知抛物线 C：2y=2px 经过点 P（1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O 为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值【答案】（1）抛物线方程为 y2=4x 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0）由241yxykx得222410k xkx 依题意2224410kk ，解得 k0 或 0k1 又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2）从而 k-3 所以
4、直线 l 斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知12224kxxk，1221x xk 直线 PA 的方程为112211yyxx令 x=0，得1111212211Mykxyxx 同理得点 N 的纵坐标为22121Nkxyx 由=QMQO，=QNQO得=1My，1Ny 所以2212121212122224211111111=21111111MNkx xxxxxkkyykxkxkx xkk 所以 11为定值从而四边形 ABNM 的面积为定值 例 4已知抛物线21:4Cyx与椭圆222221xyCab（0ab）有公共的焦点，2C 的左、
5、右焦点分别为1F，2F，该椭圆的离心率为 12.（1）求椭圆2C 的方程（2）如图，若直线l 与 x 轴，椭圆2C 顺次交于 P，Q，R（P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ与1PF R互补，求证：直线 PR 过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）椭圆2C 的方程为：22143xy.（2）设11,Q x y，22,R xy，11,0F，因为1PFQ与1PF R互补，所以110QFRFkk，即1212011yyxx，化简整理，可得1222110 x yyx yy，设直线 PQ方程为(0)xmyn m，联立直线与椭圆方程22143xmynxy，整理可得222(34)63120mymnyn，222
6、2364(34)(312)0m nmn，可得2234nm，由韦达定理可得122634mnyym，212231234ny ym，将11xmyn，22xmyn代入，可得12122(1)()0my ynyy，再将代入，可得2226(4)6(1)3434m nmn nmm，解得4n ，所以直线 PQ的方程为4xmy，所以直线 PR 过定点4,0.例 5已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.（1）求椭圆 C 的标准方程;（2）若直线:l ykxm与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C
7、 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab 3,1acac，22,1,3acb，221.43xy（2）设1122(,),(,)A x yB xy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0m kkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxx xkk 222212121 21223(4)()()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk ，1212122yyxx，2
8、222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得 1222,7kmk m ，且满足22340km.当2mk 时，:(2)l yk x，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km 时，2:()7l yk x，直线过定点 2(,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为 2(,0).7 【课外习题】1已知椭圆2222:1xyC ab 过点 2,0,0,1AB两点（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线 PA与 y 轴交于点M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值【答案】（1
9、）由题意得，21ab，所以椭圆C 的方程2214xy 又223cab，所以离心率32cea（2）设 000000P xyxy，则220044xy 又 20A，0 1B，所以直线 PA的方程为0022yyxx 令0 x，得0022Myyx，从而002112MyBMyx 直线 PB 的方程为0011yyxx 令0y ，得001Nxxy，从而00221NxANxy 所以四边形 ABNM 的面积 12SABBM000021 21212xyyx22000000000044484222xyx yxyx yxy 00000000224422x yxyx yxy2从而四边形 ABNM 的面积为定值 2已知抛物
10、线C：22(0)ypx p的焦点为 F，过 F 且斜率为 43 的直线l 与抛物线C 交于 A，B 两点，B 在 x 轴的上方，且点 B 的横坐标为 4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点 P 为抛物线C 上异于 A，B 的点，直线 PA与 PB 分别交抛物线C 的准线于 E，G 两点，x 轴与准线的交点为 H，求证：HG HE为定值，并求出定值.【答案】（1）由题意得：(,0)2pF，因为点 B 的横坐标为 4，且 B 在 x 轴的上方，所以(4,8)Bp，因为 AB 的斜率为 43，所以84342pp，整理得：3 280pp，即(2)(4 2)0pp，得2p，抛物线C 的方程为：24
11、yx.（2）由（1）得：(4,4)B，(1,0)F，淮线方程1x ，直线l 的方程4(1)3yx，由24(1)34yxyx解得14x 或4x ，于是得1(,1)4A.设点2(,)4nPn，又题意1n 且4n ,所以直线 PA：41114yxn ，令1x ，得41nyn，即41nHEn，同理可得：444nHGn，故444414nnHG HEnn.3已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的离心率为32，且22,2E 在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 4,0A且斜率不为 0 的直线与已知椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 M 作MQx轴交椭圆 C 于点 Q，求证直线 QN 过定
12、点，并求出该定点坐标【答案】（1）椭圆方程为2214xy （2）当 MN 直线的斜率不为 0 时，设直线方程为：4xmy，代入椭圆22440 xy，得2248120mymy，设11,M x y，22,N xy，11,Q xy 得0，12284myym，122124yym 2121NQyykxx，211121:NQyylyyxxxx 令0y ，12112121212112122424yxxmy yyymy yxxyyyyyy 221224434184m mxmm ，NQl过定点 1,0P 当 MN 直线的斜率为 0 时，NQ 直线为 x 轴，显然过定点 1,0P，综上，NQ 直线过定点 1,0P
13、 4已知椭圆C 过32,3和2,1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过定点1,0D 的动直线l 与椭圆C 相交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在点 M，使MA MB为常数？?若存在.求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）设椭圆的方程为22(10mxnym，0n，且)mn，椭圆经过两点3(2,1),(2,)3，21413mnnm，解得15m，35n，椭圆C 的方程为221553xy；（2）设1(A x，12),(yB x，2)y，当直线l 的斜率存在时，设:(1)l yk x，代入椭圆方程，消去 y，可得2222(1 3)6350kxk xk，则22121222635,13
14、13kkxxx xkk，假设存在点0(M x，0)，则2222101202120120(,)(,)(1)()()MA MBxx yxx ykx xkxxxkx 2220002(361)531kxxxk，若 MA MB为定值，则22000361531xxx，得073x ，且49MA MB；当直线l 斜率不存在时，直线:1l x ，则2 32 3(1,),(1,)33AB，当7(,0)3M 时，49MA MB，综上所述，存在点7(,0)3M，使MA MB为常数 5已知椭圆:C22221(0)xyabab过点(0,1)A，离心率为63.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 A 作直线l，l 与直线2y
15、 和椭圆C 分别交于两点 M，N（N 与 A 不重合）.判断以 MN 为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.【答案】（1）椭圆 C 的方程为2213xy.（2）以 MN 为直径的圆过定点(01)，.理由如下：当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为1ykx（0k）.令2y ，得1xk=，所以1(,2)M k.由221,1,3ykxxy得22(13)60kxkx，则0 x 或261 3kxk ，所以22261 3(,)1 31 3kkNkk.设(,)P x y 是以 MN 为直径的圆上的任意一点，则1(,2)MPxyk，22261 3(,)1 31 3kkNPx
16、ykk.由题意，0MP NP，则以 MN 为直径的圆的方程为222611 3()()()(2)01 31 3kkxxyykkk.即3222223(34)03(2)xkxykykxyyx恒成立.即220,20,340,xyyyy解得0,1.xy 故以 MN 为直径的圆恒过定点(0,1).当直线l 斜率不存在时，以 MN 为直径的圆也过点(0,1).综上，以 MN 为直径的圆恒过定点(0,1).6已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点 2,1A（1）求C 的方程；（2）点 M，N 在C 上，且 AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得 DQ为定值【答案】（1）故
17、椭圆方程为：22163xy.(2)设点1122,M x yN x y，若直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 的方程为：ykxm，代入椭圆方程消去 y 并整理得：2221 24260kxkmxm，可得122412kmxxk ，21 22261 2mx xk，因为 AMAN，所以0AM AN，即 121222110 xxyy，根据1122,kxm ykxmy，代入整理可得：221 21212140 x xkmkxxkm，所以22222264k121401 21 2mkmkmkmkk，整理化简得231 210kmkm，因为21A（,）不在直线 MN 上，所以 210km ，故23101kmk，于是 MN 的方程为2133yk x1k，所以直线过定点直线过定点21,33P.当直线 MN 的斜率不存在时，可得11,N xy，由0AM AN 得：111122110 xxyy，得1221210 xy，结合2211163xy 可得：2113840 xx，解得：123x 或22x（舍）.此时直线 MN 过点21,33P.令Q 为 AP 的中点，即4 1,3 3Q，若 D与 P 不重合，则由题设知 AP 是 RtADP的斜边，故12 223DQAP，若 D与 P 重合，则12DQAP，故存在点4 1,3 3Q，使得 DQ 为定值.
