1、 8.11圆锥曲线中的最值范围问题例1已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（1）求抛物线C的方程；（2）过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：y=x2于M、N两点，求|MN|的最小值【答案】（1）p=2，抛物线C的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x24kx4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=4，从而有|x1x2|=4由，解得，同理，所以，令4k3=t，t不为0，则k=，当t0时，|MN|=22；当t0时，|MN|=2=2；综上所述，当t=时，|MN|的最小值是例2如图，已知抛物线.
2、点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求的最大值【答案】（1）设直线AP的斜率为k，因为，所以直线AP斜率的取值范围是（2）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是因为|PA|=，|PQ|= ，所以令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值例3已知点A(0，2)，椭圆E： (ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）椭圆的方程为.（2）设，由题意可
3、设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时，.所以点到直线的距离，所以，设，则，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.例4已知点，点是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E（1）求点E的轨迹方程；（2）若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）设，联立，消去y得，由得，所以，因为原点总在以FQ为直径的圆的内部，所以，即而，所以，即，所以，且满足式，所以m的取值范围是例5设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭
4、圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.（2）设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（1）知，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.例6.设抛物线上有不同两点关于直线对称，求的取值范围【答案】.【课外作业】1已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，.（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.PBAMFyx0【答案】（1）或，
5、（2）设直线的方程为，由得，于是，所以，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，令，解得，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时 ，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为. 2已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. （i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】（1），又.（2）椭圆方程化为.（）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ
6、的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.3如图，椭圆C：(ab0)的离心率为 ，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程【答案】（1）椭圆的方程为：.（2）易得直线的方程：，设.其中.、在椭圆上，.设直线的方程为：，代入椭圆：.显然，且.由上又有：.点到直线的距离为：.，当且仅当时，三角形的面积最大，此时直线的方程.4已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N（5，0）在点F右侧，且MNF恰为等边三角形（1）求C的方程；（2）若直线l：xky+m与C交于A，B两点，AOB120（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围【答案】（1）由题意知，由抛物线的定义可知，则由，得，所以抛物线的方程为（2）设，由，得， ，则，所以，因为，所以，所以且，所以，解得，即的取值范围为5.已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】 或.
