1、第四讲 导数的简单应用及定积分【知识回顾】1.基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f(x)=_f(x)=x(R)f(x)=_f(x)=sinxf(x)=_0 x-1cosx原函数导函数f(x)=cosxf(x)=_f(x)=ax(a0,且a1)f(x)=_f(x)=exf(x)=_f(x)=logax(a0,且a1)f(x)=_ f(x)=lnxf(x)=_ -sinxaxlnaex2.导数的四则运算法则f(x)g(x)=_;f(x)g(x)=_;=_(g(x)0).若y=f()，=ax+b，则yx=_，即yx=_.f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)y
2、xya3.函数的单调性与导数的关系f(x)0f(x)为_;f(x)0f(x)为_;f(x)=0f(x)为常数函数.增函数减函数4.导数与极值的关系若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的_条件.必要而不充分5.积分的性质 kf(x)dx=_(k为常数)；f1(x)f2(x)dx=_；_=f(x)dx+f(x)dx(其中ac0.2.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0,因为x0时f(x)的解析式,再利用导数求切线方程.(2)先对函数y=x+lnx求导,然后将(1,1)代入到导函数中,求出切线的斜率,从而确定切线方程,再将切线方程与曲线y=ax2+(a+2)x+
3、1联立,利用=0求出a的值.(3)先利用二项式定理得到中间项系数，解得a，再利用定积分求阴影部分的面积.【规范解答】(1)设x0,则-x0，f(x)=-x+4-.则f(1)=-1+4-2=1，而f(1)=-+4=.所以曲线C在点(1，f(1)处的切线方程为y-=x-1，即2x-2y+5=0.(2)依题意当x1，2时，曲线C上的点(x，y)都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当1x2时，xf(x)x+恒成立.设g(x)=f(x)-x=-x2+ax+(1-a)lnx，x1，2.所以g(x)=-x+a+当a-11时，即a2，当x1，2时，g(x)0，g(x)为单调减函数，所以g(2)g(x)g(1
4、)，依题意应有若1a-12，即2a3时，当x1，a-1)时，g(x)0，g(x)为单调增函数，当x(a-1，2时，g(x)，所以不合题意.当a-12，即a3时，注意到g(1)=a-，显然不合题意.综上所述，1a2.【加固训练】1.(2016揭阳二模)已知函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1)处的切线l与直线x+3y-1=0垂直,记数列的前n项和为Sn,则S2016的值为()【解析】选B.由题意知f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1)处的切线斜率k=f(1)=2-a=3a=-1,故2.(2016亳州一模)已知函数f(x)=axlnx,aR,若f(e)=3,则a的值为_.【解析
5、】f(x)=a(1+lnx),aR,f(e)=3,所以a(1+lne)=3,所以a=.答案:3.(2016长沙二模)曲线y=e-x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形的面积为_.【解析】函数的导数f(x)=-e-x，则f(0)=-1，则切线方程为y-2=-x，即y=-x+2，切线与x轴的交点为(2，0)，与y轴的交点为(0，2)，所以切线与直线y=0和x=0围成的三角形的面积S=22=2.答案：2热点考向二 利用导数研究函数的单调性命题解读:主要考查导函数值与函数单调性之间的关系,利用导函数来研究函数的单调性,或由函数的单调性求某参数值(或取值范围),三种题型都有可能出现
6、.命题角度一 确定函数的单调性(区间)【典例2】(2016洛阳一模)已知函数f(x)=,其中常数k0,(1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)若k4,+),曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x1,y1),N(x2,y2)使得曲线y=f(x)在M,N两点处切线互相平行,求x1+x2的取值范围.【解题导引】(1)求导函数,对k分类讨论,利用导数的正负,即可得到f(x)在区间(0,2)上的单调性.(2)利用过M,N点的切线互相平行,建立方程,结合基本不等式,再求最值,即可求x1+x2的取值范围.【规范解答】(1)因为f(x)=当0kk0,且2,所以x(0,k)时,f(x)0,所以函数f(x
7、)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;当k=2时,=k=2,f(x)2时,0 ,所以x(0,)时,f(x)0,所以函数f(x)在(0,)上是减函数,在(,2)上是增函数;(2)由题意,可得f(x1)=f(x2)(x1,x20,且x1x2)令g(k)=k+则g(k)=0对k4,+)恒成立,所以g(k)g(4)=5,所以所以x1+x2 ,故x1+x2的取值范围为（,+).【易错警示】解答本例容易出现以下错误:(1)忽略函数的定义域,在函数解析式中含有对数必须满足x0.(2)对k分类讨论不全,题目中已知k0,对k分类讨论时容易对标准划分不准确,讨论不全面.【母题变式】1.若把典例2条件变
8、为“k0”,其他条件不变,f(x)在(0,2)上的单调性如何?【解析】由典例2(1)解析知f(x)=在(0,2)上f(x)0,故f(x)在(0,2)上为减函数.2.在典例2(1)中,将(0,2)改为(0,+),试求f(x)的单调区间.【解析】由典例2(1)解析知f(x)=因为当0k2时,k ,f(x)的单调减区间为增区间为当k=2时,k=2,f(x)2时,k ,f(x)的减区间为增区间为命题角度二 根据函数的单调性求参数的取值范围【典例3】(2016玉溪三模)若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减,则实数t的取值范围是()【解题导引】由题意可得f(x)0即3x2-2tx+30
9、在1,4上恒成立,由函数的性质可得t的取值范围.【规范解答】选C.因为函数f(x)=x3-tx2+3x,所以f(x)=3x2-2tx+3,若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减,则f(x)0,即3x2-2tx+30在1,4上恒成立,即2tx3x2+3在1,4上恒成立,所以t 在1,4上恒成立,令y=由对勾函数的图象和性质可得:函数在1,4上为增函数,当x=4时,函数取最大值,所以t .即实数t的取值范围是【规律方法】1.求函数的单调区间的“三个”方法方法一 第1步:确定函数y=f(x)的定义域;第2步:求导函数y=f(x);第3步:解不等式f(x)0或f(x)-1),f(x)
10、=-(x-1),由f(x)0解得-1x1,由f(x)1.故函数f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(1,+).(2)因为函数f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,则当x0,+)时,不等式f(x)x恒成立,即ax2+ln(x+1)-x0恒成立,设g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x0),只需g(x)max0即可.由g(x)=()当a=0时,g(x)=当x0时,g(x)0时,由g(x)=因为x0,+),若-1 时,在区间(0,+)上,g(x)0,则函数g(x)在(0,+)上单调递增,g(x)在0,+)上无最大值(或:当x+时,g(x)+),此时不满足条件;若-10,即0a
11、时,函数g(x)在(0,-1)上单调递减,在区间上单调递增,同样g(x)在0,+)上无最大值,不满足条件.()当a0时,由g(x)=因为x0,+),所以2ax+(2a-1)0,所以g(x)0,解得:x3或x1,令f(x)0,解得:1x0,解得:x2,所以函数f(x)在(-,2)上递减,在(2,+)上递增,所以函数f(x)和函数f(x)同在1,2上递减,在3,+)上递增.热点考向三 利用导数研究函数的极值和最值命题解读:主要考查利用函数的极值与导数的关系,求某些含有参数的函数的极值、最值以及极值的个数,以解答题为主.【典例4】(2016汕头一模)已知函数f(x)=ax2-(a2+1)x+alnx
12、.(1)若函数f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围.(2)当a 时，求f(x)在1，2上的最大值和最小值.(注意：ln20时，不等式等价为x+a+在上恒成立；当x0时，h(x)=x+在(0，1)上是减函数，在1，+)上是增函数，所以要使函数h(x)h(a)在上恒成立，则0a或ae，综上a 或ae.当0a 时，在1，2上f(x)0，所以f(x)在1，2上递减，所以f(x)min=f(2)=2a-2(a2+1)+aln2，f(x)max=f(1)=a-(a2+1)；当a 时，当1x 时，f(x)0，当0，所以f(x)min=f()=-a-alna，f(2)-f(1)=a-(a2+1)+aln2
13、，设h(x)=x-(x2+1)+xln2，x ；h(x)=-2x+ln2，因为0，则h(x)在x 上单调递增，所以h(x)max=所以f(2)f(1)，所以f(x)max=f(1)=a-(a2+1).综上当0a 时，f(x)min=2a-2(a2+1)+aln2，f(x)max=a-(a2+1)，当0，所以f(x)在区间上是增函数.当x(1，3时，有f(x)0.所以g(x)在区间上单调递增，所以g(x)在区间上有最小值所以a .当x(1，2时，不等式等价于ax2+恒成立.令h(x)=x2+，x(1，2.当x(1，2时.h(x)=x2+=x2+1+x2+12.所以，当a2时，不等式ax2+对x(
14、1，2恒成立.综上，实数a的取值范围是.【加固训练】(2016潍坊一模)已知函数f(x)=ex(x-lnx-1)(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间.(2)是否存在实数a,b(1,+),a1时,g(x)0,因此f(x)0,此时函数f(x)单调递增;当0 x1时,g(x)0,因此f(x)0,此时函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).(2)不存在满足题意的实数a,b.由(1)可知:函数f(x)在(1,+)上单调递增.若存在实数a,b(1,+),ab,使得函数f(x)在a,b上值域也是a,b,则f(a)=a,f(b)=b,即方程
15、f(x)=x在(1,+)上有两个实数根.令h(x)=f(x)-x,则h(x)=ex -1.由(1)可知:h(x)单调递增,h(1)=-10,所以存在m(1,e),使得h(m)=0.并且当x(1,m)时,h(x)0,h(x)为增函数.即h(m)为h(x)在(1,+)上的最小值.而h(1)=f(1)-1=-10,所以h(x)=f(x)-x只有一个零点.即f(x)=x在(1,+)上只有一个实数根.所以不存在实数a,b(1,+),a0，可得x-e，令f(x)=ln(-x)-10，可得-ex0，所以f(x)在(-，-e)上是增函数，在(-e，0)上是减函数.(2)f(x)=ln(-x)+a，因为x-e2，-e-1，所以-xe-1，e2，所以ln(-x)-1，2，若a1，则f(x)=ln(-x)+a0恒成立，此时f(x)在-e2，-e-1上是增函数，f(x)max=f(-e-1)=(2-a)e-1；若a-2，则f(x)=ln(-x)+a0恒成立，此时f(x)在-e2，-e-1上是减函数，f(x)max=f(-e2)=-(a+1)e2；若-2a1，则令f(x)=ln(-x)+a=0可得x=-e-a，因为f(x)=ln(-x)+a是减函数，所以当x0，当x-e-a时f(x)0，所以f(x)在-e2，-e-1上左增右减，所以f(x)max=f(-e-a)=e-a，综上：g(a)=
