1、7.3.1离散型随机变量的均值 （基础知识+基本题型）知识点一 离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量的分布列为则称为随机变量的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平提示(1)数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数(2)是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态(3)由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位拓展(1)随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：随机变量的数学期望是一个常数，而样本的平均值是一个随机变量，它依赖于所抽取的样本，即样本不同，样本的平均值不同但随着样本容量的
2、增加，样本的平均值越来越接近于总体的平均值，即总体的均值(2)求随机变量的数学期望的步骤：确定随机变量的取值；求出随机变量取每一个值时的概率，并写出分布列；利用公式求出数学期望知识点二 均值的线性性质已知随机变量的分布列为若，其中，为常数，则也是随机变量因为，=1，2，所以的分布列为故，即(注：在分布列中，)归纳，为随机变量，若，为常数，(1)当=0时，=，此时，即常数的数学期望就是它本身；(2)当=1时，此时；(3)当=0时，此时对于任意实数，若是随机变量，则也是随机变量，且 知识点三 两点分布的均值1若随机变量服从两点分布，则当随机变量服从两点分布时，其分布列为011-故考点一 求离散型随
3、机变量的均值例1 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表：101P试求E()分析：先利用分布列的性质求参数m，再计算E()解析：由离散型随机变量的分布列的性质，知，解得或当时，的分布列为101P此时，E()=；当时，的分布列为101P此时E()= 解后反思：当分布列中含有参数变量时，应先利用分布列的性质，求出参数变量的值，写出分布列，再求均值在求参数变量的值时，要特别注意概率的取值范围，否则易产生错误求离散型随机变量的均值的步骤：(1)理解的意义，写出可能取的全部值；(2)求取每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)根据求出均值考点二 二项分布与两点分布的均值例2 某篮球运动员投球命中率为=0
4、6(1)求一次投篮时，命中次数的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数的均值解：(1)由题意，知的分布列为010406由均值的定义可得，(2)命中次数服从二项分布，即由二项分布的均值公式，得总结：当随机变量服从特殊分布时，可直接运用公式求其均值考点三 均值的线性性质的应用例3 已知随机变量的分布列为-2-1012(1)求；(2)若，求解：(1)由随机变量分布列的性质，得，解得故(2)方法1：由公式，得方法2：由可知，的分布列为-7-5-3-11故总结：(1)均值的定义是求随机变量均值的重要方法，求均值的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以用均值的定义进行求解(2)对于型随机变量的
5、均值，可以利用均值的性质进行求解，也可以先求出的分布列，再利用定义求解考点四 均值的线性性质的实际应用例4 某城市出租车的起步价为10元，即行驶路程不超出4 时，费用为10元；若行驶路程超出4 ，则按每超出1 加收2元计费(超出不足1 的部分按1 计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 ，某司机经常驾车在民航机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5 按1 路程计费，不足5 的部分不计费)，这个司机在一次接送旅客的转换后的行车路程是一个随机变量，设他所收费用(1)求费用关于行车路程的关系式；(2)若随机变量的分布列为15161718
6、01050301求所收费用的数学期望；(3)已知某旅客实付费用38元，而出租汽车实际行驶了15 ，求出租车在途中因故停车累计时间(单位：)的取值范围解：(1)由题意，得，即，(2)由的分布列，得因为，所以故所收费用的数学期望为348元(3)由38=2+2，得=18所以停车时间转换的行车路程为18-15=3()，故，所以，即出租车在途中因故停车累计时间的取值范围是15，20)求离散型随机变量的均值时，应先写出变量的分布列，再利用公式求解若已知，则可以利用公式求解考点五 均值在决策问题中的应用例5三家公司为王明提供了面试机会，按面试的时间顺序，三家公司分别记为甲、乙、丙，每家公司都提供极好、好、一
7、般三种职位每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位，规定双方在面试以后要立即决定提供、接受、拒绝某种职位，且不允许毁约，已知王明获得极好、好、般职位的可能性分别为02，03，04，三家公司工资数据如下：公司职位极好好一般甲350030002200乙390029502500丙400030002500如果王明把工资数尽量提高作为首要条件，那么他在甲、乙、丙公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何决策？分析：因为面试有时间先后顺序，所以在解决问题时应先|先考虑到后面丙公司的情况，所以应从丙公司开始讨论解析：因为面试有时间先后，所以在甲、乙公司面试做选择时，还要考虑到后面丙公司的情况
8、，所以应从丙公司开始讨论丙公司均值为4 00002+3 00003+2 50004+001=2700（元）现在考虑乙公司：因为乙公司的工资只有2 500元，低于丙公司的均值，所以只接受乙公司极好或好的职位，否则就到丙公司 如此决策时他的工资均值为390002+2 95003+270005=3015(元)最后考虑甲公司：因为甲公司只有极好职位的工资超过3 015元，所以他只接受甲公司极好职位，否则就到乙公司，所以总的决策为：先去甲公司应聘若甲公司提供极好职位就接受，否则去乙公司应聘；若乙公司提供极好或好的职位就接受，否则就到丙公司；接受丙公司提供的任何职位解后反思：因为三家公司提供了三种不同工资的职位，获得不同职位的可能性也不相同所以我们考虑到围工资的均值来决策这类问题将实际的应用题通过建立“数学期望”模型得以解决，
