1、题型三由数列的前n项和与通项的关系求通项(推荐时间：30分钟)1已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10 (n2)，a1.(1)求证：为等差数列；(2)求an的表达式2(2011江苏)设M为部分正整数组成的集合，数列an的首项a11，前n项和为Sn.已知对任意的整数kM，当整数nk时，SnkSnk2(SnSk)都成立(1)设M1，a22，求a5的值；(2)设M3,4，求数列an的通项公式答 案1(1)证明anSnSn1 (n2)，an2SnSn10 (n2)，SnSn12SnSn10.Sn0，2 (n2)由等差数列的定义，可知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)解方法一由(1
2、)，知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有an2SnSn1；当n1，a1，不满足上式，故an方法二由(1)，知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有anSnSn1，当n1时，a1，不满足上式，故an2解(1)由题设知，当n2时，Sn1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1，从而an1an2a12.又a22，故当n2时，ana22(n2)2n2.所以a5的值为8.(2)由题设知，当kM3,4且nk时，SnkSnk2Sn2Sk且Sn1kSn1k2Sn12Sk，两式相减得an1kan1k2an1，即an1kan1an1an1k，所以当n8时，an6，an3，an
3、，an3，an6成等差数列，且an6，an2，an2，an6也成等差数列从而当n8时，2anan3an3an6an6，(*)且an6an6an2an2，所以当n8时，2anan2an2，即an2ananan2.于是当n9时，an3，an1，an1，an3成等差数列，从而an3an3an1an1，故由(*)式知2anan1an1，即an1ananan1.当n9时，设danan1.当2m8时，m68，从而由(*)式知2am6amam12，故2am7am1am13.从而2(am7am6)am1am(am13am12)，于是am1am2ddd.因此，an1and对任意n2都成立又由SnkSnk2Sn2Sk (k3,4)可知(SnkSn)(SnSnk)2Sk，故9d2S3且16d2S4.解得a4d.从而a2d，a1.因此，数列an为等差数列由a11知d2，所以数列an的通项公式为an2n1.
